Pertidaksamaan -

Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yg mengandung notasi lebih kecil dr (<), lebih besar dr (>), lebih kecil dr atau sama dgn $(\leq)$ , & notasi lebih besar dr atau sama dgn $(\geq)$ . Penyelesaian dr pertidaksamaan membuat kalimat matematikanya menjadi benar.

Daftar Isi

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan linier merupakan bentuk pertidaksamaan yg memuat bentuk aljabar dgn ordo satu misal $(x + 2) > 1″ class=”latex” /> atau <img decoding=$ . Dalam penyelesaian petidaksamaan terdapat beberapa sifat-sifat pertidaksamaan yg perlu dikenali. Sifat-sifat ini berlaku untuk semua jenis pertidaksaman (linier, kuadrat, cuilan, dll) yakni:

Suatu pertidaksamaan mampu ditambah atau dikurang oleh suatu bilangan maupun bentuk aljabar. Penambahan tak menghipnotis nilai atau tanda pertidaksamaan asalkan kedua ruas sama-sama ditambah atau dikurangi.
Contoh:
Jika $a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , maka $ac < bc$

Suatu pertidaksamaan mampu dipangkatkan, tetapi notasi pertidaksamaan bisa saja berganti tergantung dr hasil pangkat masing-masing ruas.
Contoh:
– Jika $a < 0$ , $b < 0$ , & $a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , tetapi $a^3 > b^3″ class=”latex” /></li> <li>Dua pertidaksamaan dapat digabungkan dgn menyertakan kata “atau” & “dan” dlm kalimat matematikanya. Kata “atau” kalau kedua pertidaksamaan memiliki tempat penyelesaian yg saling lepas. Penyelesaian ini dapat mengunakan garis bilangan. Contoh : <img decoding=$ atau $x > ” class=”latex” /> Kata “dan” jika kedua pertidaksamaan mempunyai kawasan solusi yg terikat & membentuk interval. Contoh : <img decoding=$ , sehingga dlm garis bilangan membentuk interval $2 < x < 4$

Jika dua aljabar dikalikan dlm suatu pertidaksamaan berlaku:
- Jika $ab > 0″ class=”latex” /> maka a & b bertanda sama yakni : <img decoding=$ dan $b < 0\rangle$
- Jika $ab < 0$ maka a & b berlawanan tanda yaitu : $\langle a >0″ class=”latex” /> dan <img decoding=$ atau $\langle a < 0$ dan $b > 0\rangle” class=”latex” /> Misalkan <img decoding=$ , maka:
 Makara penyelesaiannya adalah $x < 2$ & $x > 4″ class=”latex” /></li> </ul> </li> <li>Dua bentuk pertidaksamaan dapat dijumlahkan dgn catatan mempunyai notasi pertidaksamaan yg sama. Contoh: <img decoding=$
Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:
Irisan Kerucut
Persamaan & Pertidaksamaan Logaritma
Vektor

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat merupakan bentuk pertidaksamaan yg memuat bentuk aljabar dgn ordo maksimal dua misal $ax^2 + bx + c >” class=”latex” /> dengan notasi mampu berupa yg lain (<img decoding=$ ). Dalam penyelesaiannya, nilai yg menyanggupi petidaksamaan kuadrat disebut solusi. Penyelesaian dapat dicari dgn garis bilangan. Berikut langkah-langkahnya:
- Menentukan akar-akar dr persamaan $ax^2 + bx + c$
- Akar-akar ditempatkan pada garis bilangan selaku batas interval.
- Substitusi sembarang nilai yg ada di setiap interval pada $ax^2 + bx +c$
- Tempatkan tandan (+) atau (-) pada setiap interval sesuai dgn hasil substitusi sebelumnya.
- Didapatkan interval yg menjadi penyelesaian yakni yg bertanda (+) untuk solusi pertidaksamaan $ax^2 + bx + c > 0″ class=”latex” /> & yg bertanda (-) untuk penyelesaian pertidaksamaan <img decoding=$
Dalam permasalahan persamaan kuadrat, diskriminan (D) mampu dipakai untuk menerima solusi dlm bentuk pertidaksamaan. Contoh : Tentukan nilai p agar persamaan $x^2 - px + p = 0$ mempunyai akar-akar yg real & bebeda. Maka:

Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahanan terdiri dr fungsi $f(x)$ & $g(x)$ . Secara biasa , bentuk pertidaksamaannya mampu dinyatakan dgn :

$\frac f(x) g(0) > 0″ class=”latex” /> dgn notasi (>) mampu sebagai : <img decoding=$ atau $\geq$

Penyelesaian pertidaksamaan pecahanan dapat dilakukan dgn langkah:
- Menentukan akar dari $f(x) = 0$ dan $g(x) = 0$
- Selanjutnya sama dgn pertidaksamaan kuadrat.
- Menetapkan penyelesaian dengan:
Pertidaksamaan Irasional

Pertidaksamaan yg mengandung bentuk akar $(\sqrt)$ disebut sebagai pertidaksamaan irasional. Bentuk-bentuk:

$\sqrt f(x) <, <, \leq , \geq \sqrt g(x)$

Dapat dilakukan dgn mengkuadratkan kedua ruas. Namun ada syarat yg perlu disertakan jika dikuadatkan yakni:

$f(x)\geq 0$ dan $g(x)\geq 0$

Penyelesaian pertidaksamaan irasional mampu dilakukan dgn tindakan sesuai dgn pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dr sebuah bilangan yaitu nilai positif dr bilangan tersebut. Misalkan nilai mutlak dr 5 adalah 5 & nilai mutlak dr -5 yakni 5 . Nilai mutlak dinotasikan dgn “ $\arrowvert$ $\arrowvert$ “, pola : $\arrowvert -6 \arrowvert = 6$ . Nilai mutlak pula bisa berupa persamaan atau pertidaksamaan.

Jika $\arrowvert x \arrowvert \leq 2$ artinya nilai mutlak yg memenuhi antara 0 sampai 2 karena nilai mutlak selalu positif. Dengan nilai mutlak tersebut, maka nilai $x$ berada pada $-2\leq x \leq 2$ . Tabel diatas pula berlaku bila mencari penyelesaian nilai mutlak dr suatu fungsi dgn cara mengubah variabel sebagai fungsi menjadi $\arrowvert f(x) \arrowvert$ , pola solusi $\arrowvert 2x - 3 \arrowvert < 7$ yaitu:

Jika pertidaksamaan melibatkan 2 nilai mutlak di kedua ruas, maka penyelesaian dgn cara mengkuadratkan kedua ruas sehingga notasi mutlak hilang. Contoh, solusi $\arrowvert x + 2\arrowvert < \arrowvert x - 3$ yakni:

Contoh Soal Pertidaksamaan & Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan solusi dari:

$\frac x - 3 x + 2 \geq \frac x +4 x - 1$

Pembahasan 1:

$\frac x - 3 x + 2 \geq \frac x + 4 x - 1 \overset menjadi \rightarrow \frac x - 3 x + 2 - \frac x + 4 x - 1 \geq 0$

$\frac (x - 3)(x - 1) - (x + 4)(x + 2) (x + 2)(x - 1) \geq 0 \overset menjadi \rightarrow \frac (x^2 - 4x + 3) - (x^2 + 6x + 8) (x + 2)(x - 1) \geq 0$

$\frac -(10x + 5) (x + 2)(x - 1) \geq 0 \overset menjadi \rightarrow \frac (10x + 5) (X + 2)(X - 1)$

Akar-akarnya:

$x_1 = -2 , x_2 = -0,5 , x_3 = 1$

Garis bilangan $\frac (10x + 5) (x + 2)(x - 1) \leq 0$ ialah:

Penyelesaian :

-5 < x < atau x > 3

Contoh Soal 2

Tentukan solusi dari:

$\frac \sqrt x^2 - x + 2 \sqrt x + 5 > 1″ class=”latex” /> Pembahasan 2: 1^2 \overset menjadi \rightarrow \frac x^2 – x +2 x + 5 > 1″ class=”latex” /> x + 5 \overset menjadi \rightarrow x^2 – 2x – 3 > 0 \overset menjadi \rightarrow (x – 3)(x + 1) > 0″ class=”latex” /> Akar-akarnya: 0 \rightarrow x_3 = -5″ class=”latex” /> & <img decoding=$ tak ada sebab diskriminan $< 0$

Garis Bilangannya:

Penyelesaian:

-5 < x < -1 atau x > 3

Contoh Soal 3

Tentukan solusi dari:

$\arrowvert x - 3 \arrowvert^2 + 2 \arrowvert x - 3 \arrowvert - 15 < 0$

Pembahasan 3:

Misalkan $\arrowvert x - 3 \arrowvert = y$ ,

maka: $y^2 + 2y - 15 > 0 \overset menjadi \longrightarrow (y – 3)(y +5) < 0$

Nilai mutlak:

$-5 < y < 3 \overset menjadi \longrightarrow -5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert < 3$

Sehingga:
- $-5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert$ , senantiasa benar untuk nilai x real
- $\arrowvert x - 3 \arrowvert < 3 \overset menjadi \longrightarrow -3 < x -3 < 3 \overset menjadi \longrightarrow 0 < x < 6$
Penyelesaian:

0 < x < 6

Artikel: Irisan Kerucut
Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:
Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yg mengandung notasi lebih kecil dr (<), lebih besar dr (>), lebih kecil dr atau sama dgn $(\leq)$ , & notasi lebih besar dr atau sama dgn $(\geq)$ . Penyelesaian dr pertidaksamaan membuat kalimat matematikanya menjadi benar.

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan linier merupakan bentuk pertidaksamaan yg menampung bentuk aljabar dgn ordo satu misal $(x + 2) > 1″ class=”latex” /> atau <img decoding=$ . Dalam penyelesaian petidaksamaan terdapat beberapa sifat-sifat pertidaksamaan yg perlu dikenali. Sifat-sifat ini berlaku untuk semua jenis pertidaksaman (linier, kuadrat, cuilan, dll) yakni:
- Suatu pertidaksamaan dapat ditambah atau dikurang oleh sebuah bilangan maupun bentuk aljabar. Penambahan tak mensugesti nilai atau tanda pertidaksamaan asalkan kedua ruas sama-sama ditambah atau dikurangi.
 Contoh:
 Jika $a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , maka $ac < bc$
- Suatu pertidaksamaan mampu dipangkatkan, namun notasi pertidaksamaan mampu saja berubah tergantung dr hasil pangkat masing-masing ruas.
 Contoh:
 – Jika $a < 0$ , $b < 0$ , & $a > b” class=”latex” />, maka <img decoding=$ , tetapi $a^3 > b^3″ class=”latex” /></li> <li>Dua pertidaksamaan mampu digabungkan dgn menyertakan kata “atau” & “dan” dlm kalimat matematikanya. Kata “atau” bila kedua pertidaksamaan memiliki daerah penyelesaian yg saling lepas. Penyelesaian ini mampu mengunakan garis bilangan. Contoh : <img decoding=$ atau $x > ” class=”latex” /> Kata “dan” bila kedua pertidaksamaan mempunyai daerah solusi yg terikat & membentuk interval. Contoh : <img decoding=$ , sehingga dlm garis bilangan membentuk interval $2 < x < 4$
- Jika dua aljabar dikalikan dlm suatu pertidaksamaan berlaku:
 - Jika $ab > 0″ class=”latex” /> maka a & b bertanda sama yakni : <img decoding=$ dan $b < 0\rangle$
 - Jika $ab < 0$ maka a & b berlawanan tanda yakni : $\langle a >0″ class=”latex” /> dan <img decoding=$ atau $\langle a < 0$ dan $b > 0\rangle” class=”latex” /> Misalkan <img decoding=$ , maka:
 Makara penyelesaiannya yakni $x < 2$ & $x > 4″ class=”latex” /></li> </ul> </li> <li>Dua bentuk pertidaksamaan dapat dijumlahkan dgn catatan memiliki notasi pertidaksamaan yg sama. Contoh: <img decoding=$
 Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:
 Irisan Kerucut
 Persamaan & Pertidaksamaan Logaritma
 Vektor
 
 Pertidaksamaan Kuadrat
 
 Pertidaksamaan kuadrat merupakan bentuk pertidaksamaan yg menampung bentuk aljabar dgn ordo optimal dua misal $ax^2 + bx + c >” class=”latex” /> dengan notasi mampu berupa yg lain (<img decoding=$ ). Dalam penyelesaiannya, nilai yg menyanggupi petidaksamaan kuadrat disebut solusi. Penyelesaian mampu dicari dgn garis bilangan. Berikut langkah-langkahnya:
 - Menentukan akar-akar dr persamaan $ax^2 + bx + c$
 - Akar-akar diposisikan pada garis bilangan selaku batas interval.
 - Substitusi sembarang nilai yg ada di setiap interval pada $ax^2 + bx +c$
 - Tempatkan tandan (+) atau (-) pada setiap interval sesuai dgn hasil substitusi sebelumnya.
 - Didapatkan interval yg menjadi solusi yaitu yg bertanda (+) untuk penyelesaian pertidaksamaan $ax^2 + bx + c > 0″ class=”latex” /> & yg bertanda (-) untuk penyelesaian pertidaksamaan <img decoding=$
 Dalam permasalahan persamaan kuadrat, diskriminan (D) mampu digunakan untuk menerima solusi dlm bentuk pertidaksamaan. Contoh : Tentukan nilai p semoga persamaan $x^2 - px + p = 0$ mempunyai akar-akar yg real & bebeda. Maka:
 
 Pertidaksamaan Pecahan
 
 Pertidaksamaan pecahanan terdiri dr fungsi $f(x)$ & $g(x)$ . Secara umum, bentuk pertidaksamaannya mampu dinyatakan dgn :
 
 $\frac f(x) g(0) > 0″ class=”latex” /> dgn notasi (>) bisa selaku : <img decoding=$ atau $\geq$
 
 Penyelesaian pertidaksamaan pecahanan mampu dilakukan dgn langkah:
 - Menentukan akar dari $f(x) = 0$ dan $g(x) = 0$
 - Selanjutnya sama dgn pertidaksamaan kuadrat.
 - Menetapkan solusi dengan:
 Pertidaksamaan Irasional
 
 Pertidaksamaan yg mengandung bentuk akar $(\sqrt)$ disebut selaku pertidaksamaan irasional. Bentuk-bentuk:
 
 $\sqrt f(x) <, <, \leq , \geq \sqrt g(x)$
 
 Dapat dijalankan dgn mengkuadratkan kedua ruas. Namun ada syarat yg perlu disertakan jika dikuadatkan yakni:
 
 $f(x)\geq 0$ dan $g(x)\geq 0$
 
 Penyelesaian pertidaksamaan irasional mampu dilakukan dgn langkah-langkah sesuai dgn pertidaksamaan kuadrat.
 
 Pertidaksamaan Nilai Mutlak
 
 Nilai mutlak dr sebuah bilangan ialah nilai positif dr bilangan tersebut. Misalkan nilai mutlak dr 5 adalah 5 & nilai mutlak dr -5 adalah 5 . Nilai mutlak dinotasikan dgn “ $\arrowvert$ $\arrowvert$ “, contoh : $\arrowvert -6 \arrowvert = 6$ . Nilai mutlak pula mampu berupa persamaan atau pertidaksamaan.
 
 Jika $\arrowvert x \arrowvert \leq 2$ artinya nilai mutlak yg memenuhi antara 0 hingga 2 sebab nilai mutlak selalu positif. Dengan nilai mutlak tersebut, maka nilai $x$ berada pada $-2\leq x \leq 2$ . Tabel diatas pula berlaku kalau mencari solusi nilai mutlak dr sebuah fungsi dgn cara mengganti variabel selaku fungsi menjadi $\arrowvert f(x) \arrowvert$ , acuan penyelesaian $\arrowvert 2x - 3 \arrowvert < 7$ yaitu:
 
 Jika pertidaksamaan melibatkan 2 nilai mutlak di kedua ruas, maka solusi dgn cara mengkuadratkan kedua ruas sehingga notasi mutlak hilang. Contoh, penyelesaian $\arrowvert x + 2\arrowvert < \arrowvert x - 3$ adalah:
 
 Contoh Soal Pertidaksamaan & Pembahasan
 
 Contoh Soal 1
 
 Tentukan solusi dari:
 
 $\frac x - 3 x + 2 \geq \frac x +4 x - 1$
 
 Pembahasan 1:
 
 $\frac x - 3 x + 2 \geq \frac x + 4 x - 1 \overset menjadi \rightarrow \frac x - 3 x + 2 - \frac x + 4 x - 1 \geq 0$
 
 $\frac (x - 3)(x - 1) - (x + 4)(x + 2) (x + 2)(x - 1) \geq 0 \overset menjadi \rightarrow \frac (x^2 - 4x + 3) - (x^2 + 6x + 8) (x + 2)(x - 1) \geq 0$
 
 $\frac -(10x + 5) (x + 2)(x - 1) \geq 0 \overset menjadi \rightarrow \frac (10x + 5) (X + 2)(X - 1)$
 
 Akar-akarnya:
 
 $x_1 = -2 , x_2 = -0,5 , x_3 = 1$
 
 Garis bilangan $\frac (10x + 5) (x + 2)(x - 1) \leq 0$ yaitu:
 
 Penyelesaian :
 
 -5 < x < atau x > 3
 
 Contoh Soal 2
 
 Tentukan penyelesaian dari:
 
 $\frac \sqrt x^2 - x + 2 \sqrt x + 5 > 1″ class=”latex” /> Pembahasan 2: 1^2 \overset menjadi \rightarrow \frac x^2 – x +2 x + 5 > 1″ class=”latex” /> x + 5 \overset menjadi \rightarrow x^2 – 2x – 3 > 0 \overset menjadi \rightarrow (x – 3)(x + 1) > 0″ class=”latex” /> Akar-akarnya: 0 \rightarrow x_3 = -5″ class=”latex” /> & <img decoding=$ tak ada karena diskriminan $< 0$
 
 Garis Bilangannya:
 
 Penyelesaian:
 
 -5 < x < -1 atau x > 3
 
 Contoh Soal 3
 
 Tentukan penyelesaian dari:
 
 $\arrowvert x - 3 \arrowvert^2 + 2 \arrowvert x - 3 \arrowvert - 15 < 0$
 
 Pembahasan 3:
 
 Misalkan $\arrowvert x - 3 \arrowvert = y$ ,
 
 maka: $y^2 + 2y - 15 > 0 \overset menjadi \longrightarrow (y – 3)(y +5) < 0$
 
 Nilai mutlak:
 
 $-5 < y < 3 \overset menjadi \longrightarrow -5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert < 3$
 
 Sehingga:
 - $-5 < \arrowvert x - 3 \arrowvert$ , senantiasa benar untuk nilai x real
 - $\arrowvert x - 3 \arrowvert < 3 \overset menjadi \longrightarrow -3 < x -3 < 3 \overset menjadi \longrightarrow 0 < x < 6$
 Penyelesaian:
 
 0 < x < 6
 
 Artikel: Irisan Kerucut
 Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
 Alumni Teknik Sipil FT UI
 
 Materi Sosiologiku.com lainnya:
 Rata-rata dari data di atas