Sistem Persamaan Linear -

Sistem persamaan linear yaitu persamaan-persamaan linear yg dikorelasikan untuk membentuk sebuah sistem. Sistem persamaannya bisa terdiri dr satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membicarakan sistem persamaan linear dgn dua & tiga variabel.

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Vektor

Deret Aritmatika & Geometri

Daftar Isi

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel yakni tata cara persamaan linear yg terdiri dr dua persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai dua variabel. Contoh SPLDV dgn variabel $x$ & $y$ :

$\begin cases ax+by=c \\ px-qy=r \end cases$

dimana $a, b, c, p, q$ , & $r$ adalah bilangan-bilangan real.

Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian SP:DV bermaksud untuk memilih nilai yg memenuhi kedua persamaan yg ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yakni:

Metode grafik

Pada metode grafik ini, langkah-langkah yg dilaksanakan pertama yakni menentukan grafik garis dr masing-masing persamaan lalu menentukan titik potong dr kedua garis. Titik potong dr kedua garis tersebut ialah penyelesaian dr SPLDV.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr SPLDV berikut:

$\begin cases -x+y=1 \\ x+y=5 \end cases$

Jawab:

Langkah pertama pastikan garis dr masing-masing persamaan.

grafik sistem persamaan linear

Setelah diperoleh grafik dr kedua persamaan, sekarang memilih titik potong dr kedua garis & menentukan koordinat dr titik potong tesebut.

spldv spltv

Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dgn koordinat $(2, 3)$ , sehingga solusi dr SPLDV yaitu $2, 3$ .

Untuk membuktikan penyelesaian dr SPLDV, solusi tersebut kita subtitusikan ke persamaan dgn $x=2$ & $y=3$ .

$\begin cases -(2) + (3) = 1 \\ 2+3=5 \end cases$

Pada metode grafik ini, terdapat berbagai jenis himpunan solusi berdasarkan grafik persamaan, yakni:

- Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis yaitu penyelesaian dr SPLDV & mempunyai satu solusi.
- Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tak memiliki penyelesaian
- Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan solusi.

Metode eliminasi

Pada metode eliminasi ini, memilih solusi dr variabel $x$ dgn cara mengeliminasi variabel $y$ , & untuk memilih penyelesaian variabel $y$ dgn cara mengeliminasi variabel $x$ .

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr tata cara persamaan linear dua variabel berikut:

$\begin cases -x +y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases$

Jawab:

Pertama memilih solusi dr variabel $x$ .

Mengeliminasi variabel $y$ dapat dijalankan dgn meminimalkan persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan tamat $-2x = -4$ , bagi kedua ruas dgn -2, diperoleh solusi $x=2$ .

Kedua menentukan solusi dr variabel $x$

Mengeliminasi variabel $x$ dapat dijalankan dgn menjumlahkan persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan simpulan $2y=6$ , bagi kedua ruas dgn 2, diperoleh solusi $y=3$

Sehingga himpunan solusi dr SPLDV tersebut adalah $(2, 3)$ .

Metode substitusi

Pada metode substitusi, langkah pertama yg dikerjakan adalah mengganti salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi, yakni $x$ sebagai fungsi dr $y$ atau $y$ sebagai fungsi dr $x$ . Kemudian subtitusikan $x$ atau $y$ pada persamaan yg lain.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr SPLDV berikut:

$\begin cases -x+y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases$

Jawab:

Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi $-x+y=1$ dgn memindahkan variabel $x$ ke ruas kanan menjadi $y=1+x$ .

Kemudian persamaan fungsi $y$ disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi $x+(1+x)=5$ . Diperoleh persamaan $2x+1=5$ & kurangi masing-masing ruas dgn 1, menjadi $2x-4$ . Kemudian bagi kedua ruas dgn 2 menjadi $x=2$ . Hasil variabel $x$ disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi $-(2)=y=1$ , jadi $y=1+2$ atau $y=3$ .

Sehingga himpunan penyelesaian tata cara persamaan linear dua variabel nya yakni $(2, 3)$ .

Metode eliminasi-subtitusi

Metode ini adalah adonan dr metode eliminasi & subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian solusi dr variabel yg diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.

Coba jalankan soal di atas dgn menggunakan metode eliminasi-substitusi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel yaitu metode persamaan yg terdiri dr tiga persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai tiga variabel. Contoh SPLTV dgn variabel $x, y$ & $z$ :

$\begin cases a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=d_1 \\ a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2=d_2 \\ a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3=d_3 \end cases$

dimana $a, b, c$ & $d$ ialah bilangan-bilangan real.

Pada SPLTV terdapat 2 cara solusi, yakni:

Metode Subtitusi

Langkah yg dilaksanakan pada metode ini yakni:

Ubah salah satu persamaan yg ada pada sistem & nyatakan $x$ sebagai fungsi dr $y$ & $z$ , atau $y$ selaku fungsi dr $x$ & $z$ , atau $z$ selaku fungsi dr $x$ & $y$ ..

Subtitusikan fungsi $x$ atau $y$ atau $z$ dr langkah pertama pada dua persamaan yg lain, sehingga diperoleh SPLDV.

Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn metode yg dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.

Contoh Soal:

Tentukan solusi dr metode persamaan linear tiga variabel berikut:

$\begin cases x-2y+z=6 \cdots (I) \\ 3x+y-2z=4 \cdots (II) \\ 7x-6y-z=10 \cdots (III) \end cases$ .

Jawab:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dr $x$ , yaitu: $x-2y+z=6 \Rightarrow x=6+2y-z$ . Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) & (III), menjadi