Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga -

Barisan merupakan urutan dr suatu anggota-anggota himpunan menurut suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, & seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dr suatu barisan dinotasikan $U_n$ . Barisan pula mampu didefinisikan selaku fungsi dr bilangan orisinil atau fungsi yg domainnya himpunan bilangan orisinil. Sehingga, $U_n = f(n)$

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Integral

Perkalian & Invers Matriks

barisan & deret sebagai fungsi

Misalkan $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dr baris tersebut yaitu $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Penjumlahan suku-suku dr suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dlm bentuk sigma. Barisan dr suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yg dinyatakan dlm fungsi f(n) = U_n $f(n) = U_n$ mempunyai deret selaku :

$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_ i=1 ^ n U_i$

Daftar Isi

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yg nilai setiap sukunya ditemukan dr suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dgn suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yg berdekatan selalu sama yakni b. Sehingga:

$U_n - U_ (n - 1) = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dgn nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dr suatu barisan aritmatika mampu diketahui dgn mengenali nilai suku ke-k & selisih antar suku yg berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Jika yg dikenali ialah nilai suku pertama $U_k = a$ & selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 & nilai $U_n$ yaitu:

$U_n = a + (n - 1)b$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dr suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dr suku-suku petama hingga suku ke-n barisan aritmatika mampu dijumlah selaku :

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan x² – 4x + 4 = 0,

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_ (n-1)$

atau selaku :

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika hanya dimengerti nilai a dalalah suku pertama & nilai yaitu suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = \frac n 2 (a + U_n)$

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan

Jika hendak membuat suatu baris aritmatika dgn telah dimengerti nilai suku pertama (a) & suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika & mempunyai selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 & diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b mampu ditentukan selaku :

$b = \frac p-a q+1$

Misalkan a= 1 & p = 9, bila disisipkan 3 bilangan diantara a & p, maka baris belangan aritmatikanya ialah:

Nilai q = 3

Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

$b = \frac 9-1 3+1 = \frac 8 4 = 2$

Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika mempunyai jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika ialah suku ke- $\frac 1 2 (n+1)$ . Jika diselesaikan dlm rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah ditemukan:

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_ \frac 1 2 (n + 1) = a + (\frac 1 2 (n + 1) - 1)b$

$= a + (\frac 1 2 n - \frac 1 2 )b = a + \frac 1 2 (n - 1)b$

$= \frac 2a+(n - 1)b 2 = \frac a + a(n - 1)b 2$

$U_ \frac 1 2 (n + 1) = \frac a + U_n 2$

Barisan Geometri

Baris geometri yaitu baris yg nilai setiap sukunya didapatkan dr suku sebelumnya melalui perkalian dgn suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dgn nilai suku sebelumnya yg berdekatan senantiasa sama yaitu r. Sehingga:

$\frac U_n U_ (n - 1) = r$

Sebagai teladan baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dgn nilai

$r = \frac 16 8 = \frac 8 4 = \frac 4 2 = \frac 2 1 = 2$

Untuk mengenali nilai suku ke-n dr suatu barisan geometri dapat dimengerti dgn mengetahui nilai suku ke-k & rasio antar suku yg berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^ (n - k)$

Jika yg diketahui yakni nilai suku pertama $U_k = a$ & rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 & nilai $U_n$ ialah:

$U_n = a \cdot r^ (n - 1)$

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dr suatu barisan geometri. Penjumlahan dr suku suku petama hingga suku ke-n barisan geometri mampu dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_ (n - 1) + U_n$

Atau selaku :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^ (n - 2) + ar^ (n - 1)$

Jika cuma dimengerti nilai a ialah suku pertama & nilai U_n adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya ialah:

$S_n = a\frac (1 - r^n) (1 - r)$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a \frac (r^n - 1) (r - 1)$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut mampu dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dgn deret aritmatika yakni:

$U_n = S_n - S_ (n - 1)$

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dgn telah dimengerti nilai suku pertama (a) & suku terakhirnya (p), mampu disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri & memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 & diurutkan menjadi:

a, ar, ar², ar³, …,ar^q, ar^(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar^(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan selaku :

$r = \sqrt[q + 1] \frac p a$

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana $n \rightarrow \infty$ , maka deret ini mampu dijumlah menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots$

Atau sebagai :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$

Deret geometri tak hingga terdiri dr 2 jenis yaitu konvergen & divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jikalau penjumlahan dr suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dr suku-sukunya tak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga mampu diperoleh dgn mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri yakni:

$S_n = a \frac (1 - r^n) (1 - r)$

Dimana terdapat bagian $r^n$ didalam perhitungannya yg terpengaruh jumlah suku n. Jika $n \rightarrow \infty$ , maka untuk menentukan nilai $r^n$ dapat memakai limit yakni:

$lim_ n \rightarrow \infty r^n$

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

$lim_ n \rightarrow \infty r^n = tak terbatas$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit $r^n$ tersebut mampu dimasukan kedalam perkiraan deret selaku :

$S = a \frac (1 - lim_ n \rightarrow \infty r^n) (1 -r) = a \frac 1 - 0 1 - r = \infty$

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

$S = a \frac (1 - lim_ n \rightarrow \infty r^n (1 - r) = a \frac (1 - \infty) (1 - r) = \infty$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal Barisan & Deret Aritmatika/Geometri & Pembahasan

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dgn 42, & suku ke-8 sama dgn 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $U_5 = 42$ , $U_8 = 15$ , maka mampu digunakan rumus :

$U_n = U_k + (n - k)b$

Dimana:

$U_8 = U_5 + (8 - 5)b$

$15 = 42 + (8 - 5)b$

$3b = -27$

$b = -9$

Sehingga:

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

$78 = a$

$U_ 12 = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

Diperoleh:

$S_ 12 = \frac n 2 (a + U_12) = \frac 12 2 (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342$

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 & jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan: