Induksi Matematika -

Induksi matematika merupakan bahan yg menjadi perluasan dr nalar matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yg bisa bernilai benar atau salah, ekivalen atau ingkaran sebuah pernyataan, & pula berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika menjadi suatu tata cara pembuktian dengan-cara deduktif yg dipakai untuk mengambarkan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk mempesona kesimpulan menurut pada kebenaran pernyataan yg berlaku dengan-cara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu pula bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dr suatu perumusan dibuktikan selaku anggota dr himpunan bilangan orisinil.

Lihat pula bahan Sosiologiku.com yang lain:

Integral Substitusi & Integral Parsial

Fungsi Kuadrat

Ada tiga langkah dlm induksi matematika yg dibutuhkan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut yakni :

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.

Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita mesti bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dlm pernyataan P(k) yg diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k).

Daftar Isi

Jenis Induksi Matematika

Deret Bilangan

Sebagai gambaran dibuktikan dengan-cara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac 1 2 n(n + 1)$ .

Langkah 1

untuk n = 1, maka :

$1 = \frac 1 2 n(n + 1)$

$1 = \frac 1 2 (1)(1 + 1)$

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac 1 2 k(k + 1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac 1 2 (k + 1)((k + 1) + 1)$

Pembuktiannya:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac 1 2 k(k + 1) + (k + 1)$ (dalam langkah 2, kedua ruas

ditambah k + 1)

$= \frac 1 2 k (k + 1) +\frac 1 2 [2(k + 1)]$ . (k + 1) dimodifikasi mirip $\frac 1 2 k (k + 1)$ )

$= \frac 1 2 [k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)

$= \frac 1 2 (k^2 + k + 2k + 2)$

$= \frac 1 2 (k^2 + 3k + 2)$

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac 1 2 (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

Yuk belajar materi ini juga:

Dinamika Rotasi

Senyawa Hidrokarbon

Organel Sel

Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dibilang habis dibagi jika hasil pembagian tersebut yaitu bilangan lingkaran. Sebagai gambaran, dibuktikan dengan-cara induksi matematika bahwa $5^ 2n + 3n - 1$ habis dibagi 9.

Langkah 1

untuk n = 1, maka:

$5^ 2n + 3n - 1 = 5^ 2(1) + 3(1) - 1$

$=5^2 + 3 - 1$

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

$5^ 2n + 3n -1 \overset menjadi \rightarrow 5^ 2k + 3k - 1$ (habis dibagi 9)

$5^ 2k + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi $5^ 2k + 3k - 1$ oleh 9)

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

$5^ 2(k + 1) + 3(k + 1) - 1$

$= 5^ 2k + 2 + 3k + 3 - 1$

$= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1$

kemudian $(5^ 2k )$ dimodifikasi dgn memasukan $5^ 2k + 3k - 1$ .

$= 25 (5^ 2k + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$

$= 25(5^ 2k + 3k -1) - 72k + 27$

$= 25 (9b) - 72k + 27$

$= 9 (25b - 8k + 3)$ … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)

Contoh Soal Induksi Matematika & Pembahasan

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac 1 4 n^2 (n + 1)^2$ .

Pembahasan:

Langkah 1

$1^3 = \frac 1 4 (1)^2(1 + 1)^2 = \frac 2^2 4$

$1 = 1$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac 1 4 k^2(k + 1)^2$

Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac 1 4 (k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac 1 4 k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah $(k + 1)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac 1 4 k^2 + (k + 1))$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac 1 4 (k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4)$

$1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac 1 4 (k + 1)^2(k + 2)(k + 2)$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac 1 4 (k + 1)^2(k + 2)^2$ terbukti).

Yuk mencar ilmu bahan ini juga:

Teks Prosedur

Analytical Exposition

Momen Inersia

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

$\frac 1 2 + \frac 2 2^2 + \frac 3 2^3 + \cdots + \frac n 2^n = 2 - \frac n + 2 2^n$

Pembahasan:

Langkah 1

$\frac 1 2 = 2 - \frac (1)+2 2^1 = 2 - \frac 3 2$

$\frac 1 2 = \frac 1 2$ (terbukti)

Langkah 2 (n = k)

$\frac 1 2 + \frac 2 2^2 + \cdots + \frac 2 2^k = 2 - \frac k + 2 2^k$

Langkah 3 (n = k + 1)

$\frac 1 2 + \frac 2 2^2 + \frac 3 2^3 + \cdots + \frac k 2^k + \frac k + 1 2^ k + 1 = 2 - \frac k + 3 2 ^ k +1$

Dibuktikan dengan:

$= \frac 1 2 + \frac 2 2^2 + \frac 3 2^3 + \cdots + \frac k 2^k + \frac k + 1 2^ k + 1 = 2 - \frac k + 2 2^k + \frac k + 1 2^ k + 1$ (kedua ruas dikali $\frac k+1 2^ k+1$ )