Integral Substitusi dan Integral Parsial -

Integral Substitusi & Integral Parsial merupakan materi lanjutan dr pemahaman integral & integral tak pasti, serta rancangan dasar integral lainnya. Silakan klik hyperlink tersebut jikalau anda ingin mempelajarinya terlebih dahulu.

Daftar Isi

Integral Substitusi

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Aljabar

Pada teknik ini, bentuk fungsi f(x) mampu diubah menjadi bentuk $k \cdot (g(x))^n \cdot g^I(x)$ . Perhatikan bahwa jikalau U = g(x), maka $\frac dU dx g^I(x)$ atau $dU = g^I(x)\, dx$ .

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Fungsi Kuadrat

Vektor

Jika

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x) dx$

Maka, integral ini mampu tertuntaskan dgn memisalkan U = g(x) & $U = g^I(x)dx$ sehingga diperoleh persamaan:

$\int f(x)\, dx = k \cdot \int(g(x))^n \cdot g^I(x)dx=k \cdot \int(U)^n \cdot dU$

$= \frac k n+1 U^ (n+1) +C$

untuk $n \neq -1$ .

Jika saja $n = -1$ , maka:

$k \cdot \int(U)^ -1 \cdot dU = \ln U+C$ .

Sebagai pola:

Jika $f(x)=(x^4+5)^3 x^3$ , untuk menerima integralnya dgn memisalkan:

$x^4+5 = U$ & $\frac dU dx =4x^3$

sehingga $x^3 dx=\frac 1 4 dU$ .

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int(x^4+5)^3x^3\, dx=\int(U)^3 \cdot \frac 1 4 dU$

$=\frac 1 16 U^4+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U di peroleh:

$\frac 1 16 U^4+C=\frac 1 16 (x^4+5)^4+C$

Contoh diatas merupakan teknik substitusi pada integral tak tentu. Pada integral tertentu yg memiliki nilai pada interval $a \le b \le c$ tertentu, maka interval tersebut harus disubstitusi ke dlm interval baru untuk variabel U. Sebagai pola bila $\int^2_0 (x^4+5)^3x^3\, dx$ , untuk menerima integralnya dgn memisalkan:

$x^4+5=U$ & $\frac dU dx = 4x^3$

Sehingga $x^3\, dx=\frac 1 4 \, dU$ .

Untuk menciptakan persamaan integral dlm U, maka interval $0\le x\le 2$ dirubah menjadi :

$x=0\to U=x^4+5=0^4=5=5$

$x=2 \to U=x^4+5=2^4+5=21$

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int^2_0(x^4+5)^3x^3\, dx=\int^ 21 _5 (U)^3 \cdot \frac 1 4 \, dU$

$=[\frac 1 16 U^4]^ 21 _5=\frac 1 16 21^4-\frac 1 16 5^4$

$=\frac 1 16 (194481-625)=12116$

Teknik Integral Substitusi Dalam Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri selaku integran, untuk beberapa masalah, tak mampu pribadi diintegralkan mirip rumus integral permulaan. Sehingga perlu pula dilakukan pergantian integran. Perubahan pada fungsi trigonometri dapat dilakukan sesuai dgn persamaan berikut:

$\sin^2 A+\cos^2A=1$

$\tan^2A+1=\sec^2A$

$\cot^2A+1=\csc^2A$

$\sin A \cos A = \frac 1 2 \sin 2A$

$\sin^2 A=\frac 1 2 - \frac 1 2 \cos 2A$

$\cos^2 A=\frac 1 2 + \frac 1 2 \cos 2A$

$\sin A \cos B = \frac 1 2 [\sin (A+B) + \sin (A-B)]$

$\cos A \sin B = \frac 1 2 [\sin (A+B) - \sin (A-B)]$

$\cos A \cos B = \frac 1 2 [\cos (A+B) + \cos (A-B)]$

$\sin A \sin B = -\frac 1 2 [\cos (A+B) - \cos (A-B)]$

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Karya Tulis Ilmiah

Sel Tumbuhan

Explanation Text

Sama hal dgn fungsi aljabar, fungsi trigonometri dapat memakai teknik substitusi ini jikalau integran terdiri dr perkalian suatu fungsi dgn fungsi turunannya sendiri. Pengoperasian pula sama dgn fungsi aljabar. Sebagai pola, teladan kalau $\int 2x \sin (x^2+1)\, dx$ , untuk mendapat integralnya dgn memisalkan:

$x^2+1=U$ & $\frac dU dx =2x$

sehingga 2x dx = dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int 2x \sin (x^2+1)\, dx=\int \sin U\, dU= - \cos U+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U, diperoleh:

$- \cos U+C=- \cos(x^2+1)+C$

Atau kalau fungsi yg diturunkan adalah fungsi trigonometrinya pribadi, maka selaku teladan $\int \sin x \cos^3x\, dx$ , menerima integralnya dgn memisalkan:

$\cos x = U$ & $\frac dU dx = - \sin x$

sehingga sin x dx = – dU.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi :

$\int \sin x \cos^3 x\, dx=-\int U^3\, dU=-\frac 1 4 U^4+C$

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan U, diperoleh :

$-\frac 1 4 U^4+C=-\frac 1 4 cos^4x+C$

Teknik Substitusi Dengan integran $\sqrt[n] ax+b$

Pada teknik ini, mampu dimisalkan $y^n=ax+b$ & berikutnya menyelesaikan integral dlm fungsi f(y) memakai teknik substitusi seperti di permulaan. Contoh $\int x^2\sqrt x+3 \, dx$ , dimisalkan :

$y^2 = x+3$ atau $y^2-3=x$

sehingga $\frac dx dy =2y$ atau 2y dx = dy.

Berdasarkan permisalan ini, maka persamaan integralnya menjadi:

$\int x^2\sqrt x+3 \, dx = \int(y^2-3)^2y \cdot 2y\, dy$

$=\int(y^4-6y^2+9) \cdot 2y^2\, dy$

$=\int2y^6-12y^4+18y^2\, dy=\frac 2 7 y^7-\frac 12 5 y^5+6y^3+C$ .

Jika hasil integral diatas disubstitusi dgn permisalan y, diperoleh:

$= \frac 2 7 (x+3)^ 7/2 -\frac 12 5 (x+3)^ 5/2 +6(x+3)^ 3/2 +C$

Teknik Substitusi Dengan integran $\sqrt a^2-x^2$ , $\sqrt a^2+x^2$ , atau $\sqrt x^2-a^2$

Integral dgn integran dlm bentuk akar diatas dapat dikerjakan dgn memisalkan dr bentuk diatas sebagai berikut:

integral substitusi & parsial

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Efek Rumah Kaca

Hasil Kali Kelarutan

Resensi

Integral Parsial

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dgn teknik substitusi, ada teknik lain yakni integral parsial. Teknik ini dipakai kalau pada teknik sebelumnya tak bisa dipakai. Teknik ini merupakan integral dr turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini yakni desain integral parsial:

Jika y = U(x) . V(x), maka:

$\frac dy dx =V(x) \cdot U',(x)+U(x) \cdot V',(x)$

$dy = v(x) \cdot U' (x)dx+U(x) \cdot V' (x)\, dx$

Jika y diganti UV maka:

$d(UV) = V(x) \cdot U' (x)\, dx+U(x) \cdot V'(x)\, dx$

Karena dikenali bahwa $U' (x) dx = dU$ & $V' (x) dx = dV$ , maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dlm persamaan diatas, diperoleh:

Rumus integral parsial:

$\int U \cdot dV = UV -\int V \cdot dU$

Perlu diperhatikan untuk menentukan U & dV yg sempurna semoga pengintegralan menawarkan hasil. (dV) harus diseleksi yg mampu diintegralkan dgn rumus, sedangkan yg lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang mampu menurunkan U & mengintegralkan dV dengan-cara berulang. Jika terjadi proses yg berulang, maka proses mampu diringkas. Sebagai contoh $\int x^2 \cos x\, dx$ ialah: