Integral Tentu & Penggunaan Integral -

Daftar Isi

Integral Tentu

Catatan: Materi ini merupakan lanjutan dr bahan dasar: Pengertian Integral, Integral Tak Tentu & Integral Trigonometri.

Luas sebuah bidang dgn bentuk tertentu (mirip: lingkaran, segitiga, segiempat, dll) mampu ditentukan dgn rumus-rumus dasar yg telah diketahui. Namun, untuk menentukan luas sebuah bidang yg tak beraturan atau tak pasti akan susah. Lihatlah gambar di bawah yg merupakan luasan area dibawah grafik y = f(x) yg dibatasi oleh x = a, x = b, & garis x. Luas area tersebut hampir mendekati dgn luas dr total 11 segi panjang.

integral tentu menghitung luas kurva

Lihat pula bahan Sosiologiku.com yang lain:

Grafik Fungsi Trigonometri

Kuartil & Simpangan Baku

Jika jumlah segi panjang diperbanyak 21 buah seperti gambar dibawah, maka jumlah total luas persegi panjang tersebut semakin mendekati luas area grafik yg ditentukan. Sehingga untuk menerima luas area tersebut, jumlah persegi panjang dibentuk mendekati tak hingga. Dapat ditarik kesimpulan luas dr area sama dgn limit luas total segi panjang menuju tak hingga.

luas bidang di bawah grafik fx

Konsep ini menjadi dasar untuk mencari luas sebuah bidang tak pasti. Luas sebuah bidang di bawah grafik y = f(x) yg dibatasi oleh x = a, x = b mampu dicari dgn mengintegralkan fungsi tersebut pada selang $a \le x \le b$ . Atau mampu ditulis:

$Luas =\int^b_af(x)dx$

Pengoperasian integral pasti sama dgn intergral tak pasti hanya saja nilai a dan b disubstitusikan dlm fungsi hasil integral sebagai berikut:

$\int^b_af(x) dx = [F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$

Lihat pola berikut ini sebagai pengertian:

$\int^3_1 4x^3dx=[x^4]^3_1=(3^4)-(1^4) = 80$

$\int^2_1\frac 1 x^3 dx =[-\frac 1 2x^2 ]^2_1 = [-\frac 1 2(2)^2 ]^2_1-(-\frac 1 2(1)^2 )$ = $-\frac 1 8 +\frac 1 2 =\frac 3 8$

Intergral tentu memiliki sejumlah sifat-sifat penting yg mampu digunakan dlm pengoperasian matematika yakni:

$\int^a_a f(x)dx=0$

$\int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x) dx$

$\int^b_a k \cdot f(x)dx=k \cdot \int^b_af(x)dx$ … dgn k yakni konstanta/ bilangan

$\int^b_af(x)+g(x)dx = \int ^b_a f(x)dx +\int^b_a g(x)dx$

$\int^b_af(x)-g(x)dx = \int^b_af(x)dx - \int^b_ag(x)dx$

$\int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx$ … dgn a < b < c

Pengintegralan sebuah fungsi tak selamanya mampu dikerjakan dengan-cara langsung dgn rumus dasar:

$\int ax^ndx=\frac a (n+1) x^ (n+1) +C$

Bisa atau tak ditentukan oleh bentuk fungsi yg diintegralkan. Teknik pengintegralan terdiri dr dua jenis yakni teknik substitusi & teknik parsial.

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Teks Editorial

Bioteknologi

Conditional Sentence

Penggunaan Integral

Pada penjelasan sebelumnya integral mampu digunakan untuk mencari luas sebuah bidang sebagai fungsi pada interval $a \le x \le b$ & dibatasi sumbu x sebagaimana proses integral tentu. Lihat tabel berikut:

Jenis Kegunaan	Batasan	Luas (A)	Keterangan
Luas grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	$A =\int^b_a f(x) dx$	Luas bidang berada pada: Atas sumbu x, atau Bawah sumbu x
Luas antara dua grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$	f(x) > g(x) pada selang a ≤ x ≤ b
Luas antara dua grafik dgn ordo optimal 2	Grafik f(x) Grafik g(x)	$A = \frac D \sqrt D 6a^2$	Determinan (D) didapat dr f(x) = g(x) menjadi ax² + bx + c = 0

Pada penggunaan lebih lanjut, integral mampu dipakai untuk mencari volume. Volume didapat dr sebuah bidang yg mengelilingi/berputar pada sebuah sumbu. Metode untuk menghitung volume benda putar ialah tata cara cakram & sistem kulit.

Metode Cakram

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu x	V = $\int^b_a \pi [f(x)]^2) dx$
Volume Grafik	Grafik f(y) a ≤ y ≤ b Sumbu y	Sumbu y	V = $\int^b_a \pi [f(y)]^2) dy$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu x	V = $\int^b_a [f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(y) Grafik g(y) a ≤ y ≤ b	Sumbu y	V = $\int^b_a [f(y)]^2 - [g(y)]^2) dy$

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Efek Fotolistrik

Reaksi Redoks

Gurindam

Metode Kulit

Jenis Volume

Batasan Bidang

Sumbu Putar

Volume

Volume Grafik

Grafik f(x)

a ≤ x ≤ b

Sumbu x

Sumbu y

V = $2 \pi \int^b_a x \cdot f(x) dx$

Volume Antara Dua Grafik

Grafik f(x)

Grafik g(x)

a ≤ x ≤ b

Sumbu y

V = $2 \pi \int^b_a x \cdot [f(x) - g(x)] dx$

Contoh Soal Integral Tentu, Penggunaan Integral, & Pembahasan

Tentukan luas tempat yg dibatasi oleh 2 grafik yakni grafik $y = 2x^3 + x^2 - x - 1$ & grafik $y = x^3 + 2x^2 - x - 1$ .

Pembahasan:

Kedua grafik dibentuk persamaan f(x) – g(x) untuk mendapat titik potong:

$2x^3 + x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 + 5x - 1$

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

$(x+2)(x)(x-3) = 0$

Akar-akarnya merupakan titik potong kedua grafik yaitu x = -2, x = 0, x = 3.

Maka luas grafik tersebut adalah:

$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$ = $\int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx$

Dengan a = -2, b = 3, & c = 0, maka

$A =\int^0_ -2 f(x) - g(x) dx = \int^0_ -2 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac 1 4 x^4 - \frac 1 3 x^3 - \frac 6 2 x^2]^0_ -2$

$= 0 - (\frac 1 4 (-2)^4 - \frac 1 3 (-2)^3 - \frac 6 2 (-2)^2)$

$= 0 - (\frac 16 4 - \frac 8 3 - 12)$ = $- (\frac 48 + 32 - 144 12 ) = \frac 64 12$

$A =\int^3_0 f(x) - g(x) dx = \int^3_0 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac 1 4 x^4 - \frac 1 3 x^3 - \frac 6 2 x^2]^3_0$

$= (\frac 1 4 (3)^4 - \frac 1 3 (3)^3 - \frac 6 2 (3)^2) - 0$ = $\frac 81 4 - 9 - 27 = - \frac 63 4$

Nilai $- \frac 63 4$ memiliki tanda (-) mengartikan pada interval 0 ≤ x ≤ 3 kurva g(x) > f(x), sehingga penulisan integran terbalik. Seharusnya: g(x) – f(x). Luas tak mungkin (-) sehingga yg dijumlahkan adalah $\frac 63 4$ . Sebagai berikut: