Irisan Kerucut - Dari Sosiologi untuk Indonesia

Irisan kerucut ialah irisan suatu kerucut dgn sebuah bidang yg membentuk kurva dua-dimensi. Jenis kurva yg mampu terbentuk yakni bulat, parabola, elips, & hiperbola.

irisan kerucut parabola elips hiperbola

Lihat pula bahan Sosiologiku.com lainnya:

Persamaan & Pertidaksamaan Logaritma

Dimensi Tiga

Daftar Isi

Lingkaran

Lingkaran adalah kawasan kedudukan titik-titik yg berjarak sama, yg disebut jari-jari bulat, ketitik tertentu yg disebut sentra bundar. Persamaan biasa pada lingkaran sebagai berikut :

$x^2 + y^2 + Ax + By + c = 0$

dengan

Pusat bundar $(-\frac 1 2 A, -\frac 1 2 B)$

Jari-jari $\sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$

Persamaan bundar bila titik pusatnya dikenali:

irisan kerucut lingkaran

Posisi titik $P(x_1,x_2)$ kepada lingkaran dgn persamaan $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ yaitu:

P di dlm bulat jikalau $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 < r^2$

P di bundar bila $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = r^2$

P di luar lingkaran jika $(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 > r^2″ class=”latex” /></li> </ul> <img decoding=$

Posisi titik $P x_1,x2$ terhadap bulat dgn persamaan $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ diputuskan dgn Kuasa K, dimana $K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C$ .

P di dlm bulat jika $K < r^2$

P di bulat jika $K = r^2$

P di luar bulat jika $K > r^2″ class=”latex” /></li> </ul> Posisi garis <img decoding=$ terhadap bulat $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ memiliki tiga kemungkinan titik potong. Hal ini diputuskan oleh diskriminan $D = b^2 - 4ac$ dr persamaan kuadrat sekutu antara garis & bulat. Sehingga:

$D > 0″ class=”latex” />, garis memangkas bulat di dua titik</li> <li><img decoding=$ , garis menyinggung bundar di satu titik

$D < 0$ , garis tak memangkas bundar.

posisi garis terhadap lingkaran

Garis singgung yg melalui titik singgung $(x_1,y_1)$ mampu diputuskan persamaan garisnya dgn cara:

garis singgung yg melewati lingkaran

Persamaan garis singgung dgn gradien m yg menyinggung lingkaran mampu diputuskan dgn cara:

persamaan garis singgung lingkaran dgn gradien m

Garis singgung dgn gradien m akan sejajar dgn garis h $(y = mx_h + n)$ kalau $m = m_h$

Garis singgung dgn gradien m akan tegak lurus dgn garis h $(y = mx_h + n)$ jikalau $m = \frac 1 m_h$

Parabola

Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yg jaraknya kepada titik tertentu, yg dinamakan titik fokus (f), & garis tertentu, yg dinamakan direktriks (d), senantiasa sama. (karena e = 1)

irisan kerucut parabola

Berikut ialah macam-macam persamaan parabola:

Titik Puncak	Titik Fokus	Persamaan Parabola	Keterangan
$(0,0)$	$(p,0)$	$y^2 =4px$	Kurva terbuka kekanan Persamaan direktriks: $x = -p$ Sumbu simetri: $y = 0$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(-p,0)$	$y^2 = -4px$	Kurva terbuka kekiri Persamaan direktriks: $x =p$ Sumbu simetri: $y = 0$ Panjang latus rectum $=4p$
	$(0,p)$	$x^2 = 4py$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = -p$ Sumbu simetri: $x = 0$ Panjang latus rectum
	$(0,-p)$	$x^2 = -4py$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = p$ Sumbu simetri: $x = 0$ Panjang latus rectum
$(a,b)$	$(a + p,0)$	$(y-b)^2 = 4p(x - a)$	Kurva terbuka kekanan Persamaan direktriks: $x = a-p$ Sumbu simetri: $y = b$ Panjang latus rectum $=4p$
	$(a - p,0)$	$(y - b)^2 = -4p(x - a)$	Kurva terbuka kekiri Persamaan direktriks: $x = a + p$ Sumbu simetri: $y = b$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(0,a + p)$	$x - a^2 = 4p(y - b)$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = b - p$ Sumbu simetri: $x = a$ Panjang latus rectum $= 4p$
	$(0,a - p)$	$x - a^2 = -4p(y - b)$	Kurva terbuka keatas Persamaan direktriks: $y = b + p$ Sumbu simetri: $x = a$ Panjang latus rectum $= 4p$

Persamaan garis singgung parabola yg melalui titik singgung $(x_1,y_1)$ pada parabola yaitu:

persamaan parabola

Persamaan garis singgung parabola dgn gradien m pada parabola yakni:

persamaan garis singgung parabola dgn gradien m

Elips

Elips didefinisikan selaku kedudukan titik-titik yg jumlah jaraknya dr dua titik (titik konsentrasi) ialah konstan.

irisan kerucut elips

Bentuk persamaannya selaku berikut:

Pusat

Puncak Sumbu Mayor

Puncak Sumbu Minor

Persamaan Elips

$(0,0)$

$A_1(-a,0)$

$A_2(a,0)$

$B_1(0,-b)$

$B_2(0,b)$

$\frac x^2 a^2 + \frac y^2 b^2 =1$

Kurva lonjong mendatar

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $= 2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(c,0)$

Eksentrisitas $e = \frac c a$

Direktriks $x = -\frac a^2 c$ & $x = \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2b^2 a$

$A_1(0,-a)$

$A_2(0,a)$

$B_1(-b,0)$

$B_2(b,0)$

$\frac x^2 b^2 + \frac y^2 a^2 =1$

Kurva lonjong vertikal

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(0,c)$

Eksentrisitas $e = \frac c d$

Direktriks $x =-\frac a^2 c$ & $x =\frac a^2 c$

Panjang latus rectum $=\frac 2b^2 a$

$(h,k)$

$A_1(h-k,a)$

$A_2(h+a,0)$

$B_1(h,k-b)$

$B_2(h,k+b)$

$\frac (x-h)^2 a^2 + \frac (y-k)^2 b^2 = 1$

Kurva lonjong mendatar

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 -b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(h+c,0)$

Eksentrisitas $e = \frac c d$

Direktriks $x = h -\frac a^2 c$ & $x = h + \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2b^2 a$

$A_1(h,k - a)$

$A_2(h,k + a)$

$B_1(h - b,k)$

$B_2(h + b,k)$

$\frac (x-h)^2 b^2 + \frac (y-k)^2 a^2 = 1$

Kurva lonjong vertikal

Panjang sumbu mayor (sumbu panjang) $=2a$

Panjang sumbu minor (sumbu pendek) $=2b$

$a > b \rightarrow c^2 = a^2 – b^2″ class=”latex” /></li> <li>Titik focus <img decoding=$ & $f_2(0,k + c)$

Eksentrisitas $e = \frac c a$

Direktriks $x = k - \frac a^2 c$ dan $x = k + \frac a^2 c$

Panjang latus rectum $= \frac 2ab^2 a$

Dengan persamaan garis singgung yg melalui titik $(x_1,y_1)$ pada elips adalah:

persamaan elips

Persamaan garis singgung parabola dgn gradien m pada elips adalah:

persamaan garis singgung elips dgn gradien m

Hiperbola

Hiperbola didefinisikan selaku kedudukan titik-titik yg selisih jaraknya dr dua titik (titik konsentrasi) yakni konstan.

irisan kerucut hiperbola

Persamaan hiperbola dgn titik sentra $(0,0)$ & $(h,k)$ selaku berikut:

persamaan hiperbola dgn titik pusat 00

persamaan hiperbola dgn titik pusat h k

Persamaan garis singgung hiperbola yg melalui titik $(x_1,y_1)$ yaitu:

persamaan hiperbola melalui titik x1 y1

Persamaan garis singgung hiperbola dgn gradien m pada elips adalah:

persamaan garis singgung hiperbola dgn gradien m

Contoh Soal Irisan kerucut dan Pembahasan

Contoh Soal Irisan Kerucut 1

Lingkaran $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 9$ memangkas garis $y = 3$ . Garis singgung yg melalui titik potong antara bundar & garis tersebut yakni? (UN 2012)