Kuartil, Desil, Simpangan Baku, Varian, dsb -

Daftar Isi

Kuartil (Q)

Kuartil yakni nilai yg membagi data menjadi empat bab yg sama banyak setelah data diurutkan dr yg terkecil hingga yg paling besar. Terdapat tiga kuartil, yaitu kuartil bawah $(Q_1)$ , kuartil tengah $(Q_2)$ atau median, & kuartil atas $(Q_3)$ . Kuartil didapat dgn cara :

Mengurutkan data dr nilai terkecil sampai paling besar

Menentukan median atau $(Q_2)$

Menentukan $(Q_1)$ (median data kurang dr $(Q_2)$ ) & $(Q_3)$ (median data lebih dr $(Q_2)$ )

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Persamaan Trigonometri

Mean Median Modus

Contoh, data yg diurutkan:

rumus cara mencari kuartil

$(Q_2) = 4$

$(Q_1) = \frac 1 2 (2+3) = 2.5$

$(Q_3) = \frac 1 2 (6+6) = 6$

Untuk data berkelompok, kuartil dihitung dgn rumus:

$Q_i = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c$

Dengan:

$t_b =$ tepi bawah kelas kuartil

$n =$ banyak data

$f_k =$ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

$f =$ frekuensi kumulatif kelas kuartil

$c =$ panjang kelas

$i =$ 1,2,3

(Contoh ada di soal 1 di bawah)

Desil

Desil yaitu nilai yg membagi data menjadi sepuluh bab yg sama banyak sehabis data diurutkan dr yg terkecil sampai yg paling besar. Letak desil bisa direntukan dgn rumus:

$D_i$ terletak pada nilai ke – $\frac i(n+1) 10$

Contoh, data yg diurutkan:

cara mencari & rumus desil

$D_3$ ada di nilai ke- $\frac i(n+1) 10 = \frac 3(15)+1 10 = 4.8$ , sehingga

$D_3 = x_4 + 0.8(x_5 - x_4) = 6 + 0.8(6 - 6) = 6$

$D_6$ ada di nilai ke- $\frac i(n+1) 10 = \frac 6(15 + 1) 10 = 9.6$ , sehingga

$D_6 = x_9 + 0.6(x_10 - x_9) = 7 + 0.6(8 - 7) = 7.6$

Untuk data berkelompok, desil didapat dgn rumus berikut :

$D_i = t_b + (\frac \frac i 10 n-f_k f )c$

Dengan:

$t_b =$ tepi bawah kelas desil

$n =$ banyak data

$f_k =$ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

$f =$ frekuensi kumulatif kelas desil

$c =$ panjang kelas

$i =$ 1,2,3,…,9

(Contoh ada di soal 1)

Jangkauan (Rentang), Hamparan, & Simpangan Kuartil

Jangkauan data $(J)$ ialah selisih antara data paling besar & data terkecil.

$J = x_ max -x_ min$

Hamparan atau jangkauan antar kuartil $(H)$ yakni selisih antara kuartil ketiga & pertama

$H = Q_3 - Q_1$

Simpangan kuartil $Q_d$ yakni setengah kali panjang hamparan

$Q_d = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1)$

(Contoh di Soal 1 & Soal 2)

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Medan Magnet

Benzena

Kalimat Efektif

Simpangan Rata-rata

Simpangan rata-rata $(SR)$ merupakan jarak rata-rata sebuah data kepada rataannya. Simpangan rata-rata dapat dicari dgn rumus:

$SR = \frac 1 2 \sum \limits^N_ I=1 \mid x_i - \bar x\mid$

Dengan:

$n$ = banyak data

$x_i$ = nilai data ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk data berkelompok, rumus simpangan rata-rata $(SR)$ yakni :

$SR = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i\mid x_i - \bar x\mid$

Dengan:

$k$ = banyak kelas

$x_i$ = titik tengah kelas ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

$n$ = $\sum^k_ i=1 f_i$

(Contoh di Soal 3)

Ragam

Ragam atau varian $(S^2)$ menyatakan rata-rata kaudrat jarak suatu data kepada rataannya. Rumus untuk menerima ragam atau varian yaitu:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^n_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

Dengan:

$n$ = banyak data

$x_i$ = nilai data ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

(Contoh di Soal 2)

Sedangkan untuk Ragam atau varian $(S^2)$ untuk data berkelompok dapat diputuskan dgn rumus berikut:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i(x_i - \bar x)^2$

Atau

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_ix_i^2 - (\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_ix_i)^2$

Dengan:

$k$ = banyak kelas

$x_i$ = titik tengah kelas ke-i

$\bar x$ = nilai rata-rata

$n = \sum^k_ i=1 f_i$

(Contoh di Soal 3)

Rumus diatas mampu diubah dgn menggunakan simpangan rataan menjadi

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_id_i^2 - (\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_id_i)^2$

Simpangan Baku

Simpangan baku atau kriteria deviasi $(S)$ ialah rata-rata jarak penyimpangan titik-titik data diukur dr nilai rata-rata data tersebut. Simpangan baku dapat ditentukan dgn rumus :

$S = \sqrt S^2 = \sqrt \frac 1 n \sum \limits^n_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

Contoh di Soal 2

Sedangkan untuk data berkelompok, Simpangan baku atau kriteria deviasi dapat diputuskan dgn rumus:

$S = \sqrt S^2 = \sqrt \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 f_i(x_i - \bar x)^2$

Contoh di Soal 3

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, Simpangan Baku, dsb & Pembahasan

Contoh Soal Kuartil, Simpangan Kuartil, dsb.

Tentukan nilai kuartil bawah, kuartilatas, desil ke-6, jangkauan antar kuartil, & simpangan kuartil dr data berikut:

contoh soal jangkauan simpangan kuartil

Pembahasan

Panjang kelas: $c = 10$

Banyak data: $n = 40$

Maka letaknya:

Kelas $Q_1$ ada pada $x$ ke $\frac i 4 n = \frac 1 4 (40) = 10$ yakni di kelas 60 – 69

Kelas $\frac i 4 n = \frac 3 4 (40) = 30$ yaitu di kelas 80 – 89

Kelas $D_6$ ada pada x $x$ $\frac i(n+1) 10 = \frac 6(40+1) 10 = 24.6$ yaitu di kelas 70 – 79

Sehingga:

$Q_1 = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c = 59.5 + (\frac \frac 1 4 (40)-8 8 ) 10 = 65.75$

$Q_3 = t_b + (\frac \frac i 4 n-f_k f )c = 79.5 + (\frac \frac 8 4 (40)-27 10 ) 10 = 82.5$

$D_6 = t_b + (\frac \frac 6 10 (40)-13 14 )10 = 77.36$

Jangkauan antar kuartil (H):

$H = Q_3 - Q_1 = 82.5 - 65.75 = 16.75$

Simpangan kuartil $Q_d$ :

$Q_d = \frac 1 2 H = \frac 1 2 (16.75) = 8.375$

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Metabolisme

Procedure Text

Teori Relativitas

Contoh Soal Simpangan Baku, Ragam, dsb.

Diketahui data 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9. Tentukan nilai dr jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, & simpangan baku data tersebut.

Pembahasan:

contoh soal simpangan baku

Dengan $Q_1 = 4$ , $Q_2 = 6$ , & $Q_3 = 8.5$ , maka

Mean: $\bar x = \frac 3+4+4+5+6+7+8+9+9 9 = \frac 55 9 = 6.11$

Jangkauan: $(J) = x_ max - x_ min = 9 -3 = 6$

Jangkauan antar kuartil: $H= Q_3 - Q_1 = 8.5 - 4 = 4.5$

Simpangn kuartil: $Q_d = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1) = \frac 1 2 (Q_3 - Q_1) = \frac 1 2 (8.5 - 4) = 2.25$

Simpang rata-rata:

$SR =\frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 \mid x_i - \bar x\mid$

$SR = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 \mid 3 - 6.11\mid$ + $\mid 4 - 6.11\mid$ + $\mid 4 - 6.11\mid$ + $\mid 5 - 6.11\mid$ + $\mid 6 - 6.11\mid$ + $\mid 7 - 6.11\mid$ + $\mid 8 - 6.11\mid$ + $\mid 9 - 6.11\mid$ + $\mid 9 - 6.11\mid$

$SR=\frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 \mid -3.11\mid$ + $\mid -2.11\mid$ + $\mid -2.11\mid + -1.11\mid$ + $\mid -1.11\mid$ + $\mid 0.89\mid$ + $\mid 1.89\mid$ + $\mid 2.89\mid$ + $\mid 2.89\mid$

$SR = \frac 1 9 \times 17 = 1.89$

Ragam:

$S^2 = \frac 1 n \sum \limits^k_ i=1 (x_i - \bar x)^2$

$S^2 = \frac 1 9 \sum\limits^k_ i=1 (3 - 6.11)^2$ + $(4 - 6.11)^2$ + $(5 - 6.11)^2 + (6 - 6.11)^2$ + $(7 - 6.11)^2 + (8 - 6.11)^2$ + $(9 - 6.11)^2 + (9 - 6.11)^2$

$SR = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1 (-3.11)^2$ + $(-2.11)^2$ + $(-2.11)^2$ + $(-1.11)^2$ + $(-1.11)^2$ + $(0.89)^2$ + $(1.89)^2$ + $(2.89)^2$ + $(2.89)^2$

$S^2 = \frac 1 9 \sum \limits^k_ i=1$ 9.6721 + 4.4521 + 4.4521 + 1.2321 + 1.2321 + 0.7921 + 3.5721 + 8.3521 + 8.3521

$S^2 = \frac 1 9 \times 42.1089 = 4.6788$

Simpangan baku:

$S = \sqrt S^2 = \sqrt 4.6788 = 2.163$

Contoh Soal Jangkauan, Simpangan Rata-rata, dsb.

Tentukan jangkauan, hamparan, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, & simpangan baku pada data berikut:

Nilai	Frekuensi
40-49	1
50-59	4
60-69	8
70-79	14
80-81	10
90-99	3
Jumlah	40

Pembahasan:

Nilai	$f_i$	$x_i$	$f_id_i$	$\mid x_i\bar x\mid$	$f_i\mid x_i - \bar x\mid$	$(x_i - \bar x)^2$
40-49	1	44.5	43.5	29.25	29.25	855.56
50-59	4	54.5	214	19.25	77	370.56
60-69	8	64.5	508	9.25	74	85.56
70-79	14	74.5	1029	0.75	10.5	0.56
80-81	10	84.5	835	10.75	107.5	115.56
90-99	3	94.5	280.5	20.75	62.25	430.56
JUMLAH	40		2910		360.5