Limit Fungsi Trigonometri -

Daftar Isi

Substansi Penyelesaian Soal Limit dengan-cara Umum

Saat ananda ingin menentukan nilai $\lim \limits_ x \to c f (x)$ , pertama yg WAJIB ananda kerjakan yaitu substitusi nilai x = c ke f(x) yg menciptakan f(c) = L. Nilai L mampu bernilai tentu atau tak tentu.

A. Bentuk Tentu

Bentuk pasti dr L contohnya $5, 0, \infty$ , $\sqrt 2$ , $(\frac 0 3 =0)$ , $(\frac -3 \infty =0)$ , $(\frac \infty -4 =-\infty)$ , $(\infty + \infty = \infty)$ , $(\infty . \infty = \infty)$ , $(\frac 0 \infty =0)$ , $(\frac \infty 0 =\infty)$ , $(\infty ^\infty= \infty)$ & $(0^\infty =0)$

Ciri bentuk tentu yakni operasinya saling membantu atau TIDAK berkompetisi, ini bermakna keduanya sama-sama menguatkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tentu, maka L adalah nilai limit tersebut.

B. Bentuk Tak Tentu

Bentuk tak tentu dr L misalnya $(\frac 0 0 )$ , $(\frac \infty \infty )$ , $(\infty - \infty)$ , $(0 .\infty), (0^0), (\infty^0), (1^\infty)$

Khusus 3 bentuk terakhir dibahas untuk materi pendalaman, sementara bentuk $(0.\infty)$ ananda harus pahami sebagai bentuk lain dr $(\frac 0 0 )$ atau $(\frac \infty \infty )$ dgn mengasumsikan $\infty$ sebagai $\frac 1 0$ , atau 0 sebagai $\frac 1 \infty$ .

Secara lazim, ciri bentuk tak pasti adalah operasinya SALING berkompetisi, ini mempunyai arti keduanya sama-sama saling melemahkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tak tentu, maka mesti menggunakan banyak sekali metode untuk menyelesaikannya, contohnya mengubah bentuk fungsi, memfaktorkan, memakai bentuk sekawan sekawan pada kasus $(\infty - \infty)$ atau memakai Dalil L’Hospital pada bentuk $(\frac 0 0 )$ atau $(\frac \infty \infty )$ . Sedangkan 3 bentuk terakhir menggunakan dukungan rancangan logaritma natural untuk menyelesaikannya.

Dalam solusi soal Limit Trigonometri, metode yg sering digunakan adalah substitusi, pemfaktoran, menyamakan penyebut, turunan (Dalil L’Hospital), atau perkalian dgn bentuk sekawan.

Matriks – Penjumlahan, Perkalian, Determinan, Invers

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Pertidaksamaan

Irisan Kerucut

Vektor

Limit Trigonometri

Supaya ananda mampu melahap semua soal limit trigonometri, rancangan yg wajib ananda kuasai ialah:

1. Identitas Trigonometri

$sin^2 x + cos^2 x =1$

$1+cot^2 x = csc^2 x$

$1+ tan^2 x = sec^2 x$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Baris kedua diperoleh dgn membagi baris pertama dgn $sin^2 x$

Baris ketiga diperoleh dgn membagi baris pertama dgn $cos^2 x$

2. Rumus Jumlah & Selisih Sudut

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\tan (x + y) = \frac \tan x + \tan y 1- \tan x \tan y$

$\tan (x - y) = \frac tan x - \tan y 1+ \tan x \tan y$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Misal untuk menentukan sin(x – y), cukup gunakan rumus sin(x+y) dgn cara menyatakan sin(x – y) = sin(x + (-y))

3. Rumus Perkalian

$2 \sin x \cos y = \sin (x + y) + \sin (x - y)$

$2 \cos x \sin y = \sin (x + y) - \sin (x - y)$

$2 \cos x \cos y = \cos (x + y) + \cos (x - y)$

$-2 \sin x \sin y = \cos (x + y) - \cos (x - y)$

Catatan: Semua rumus perkalian TIDAK PERLU dihapalkan, CUKUP turunkan saja dr Rumus Jumlah & Selisih Sudut.

Misal untuk menerima Rumus baris pertama:

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\underline \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y _+$

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y$

4. Rumus Penjumlahan & Pengurangan

$\sin p + \sin q =2 \sin(\frac p +q 2 ) \cos(\frac p - q 2 )$

$\sin p - \sin q =2 \cos(\frac p +q 2 ) \sin(\frac p - q 2 )$

$\cos p + \cos q =2 \cos(\frac p +q 2 ) \cos(\frac p - q 2 )$

$\cos p - \cos q = -2 \sin(\frac p +q 2 ) \sin(\frac p - q 2 )$

Catatan: Semua rumus ini pun TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk mendapatkan nilai sin p + sin q, ananda hanya perlu menurunkan rumus jumlah & selisih sudut dgn cara memisalkan x + y = p & x – y = q

5. Sudut Rangkap

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$

$\cos 2 x = cos^2 x - \sin^2 x=1 -2 \sin^2 x=2 \cos^2 x-1$

$\tan 2 x = \frac 2 \tan x 1- \tan^2 x$

Catatan: Semua rumus ini pula TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk menerima nilai sin 2x, ananda tinggal menyatakan dlm bentuk sin (x + x) sesuai dgn rumus jumlah sudut.

Gunakan pula identitas trigonometri untuk tahu kombinasi rumus cosinus sudut rangkap.

6. Turunan Trigonometri

f (x)	f’ (x)
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\tan x$	$\sec^2$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc c$	$- \csc x \cot x$
$\cot x$	$- \csc^2$

Catatan: Kamu hanya perlu menghapal turunan dr sin x & cos x saja, sisanya bisa menurunkan sendiri, misal tan x dinyatakan dlm $\frac \sin x \cos x$ yg merupakan bentuk $\frac u v$ , turunannya adalah

$\frac u'v - uv' v^2 = \frac \cos x \dot \cos x - \sin x( - \sin x) \cos^2 x = \frac \cos^2 x + \sin^2 x \cos^2 x = \frac 1 \cos^2 x = \sec^2 x$

Untuk fungsi mirip $\sec x = \frac 1 \cos x = ( \cos x )^-1$ , selain ananda mampu menyatakannya dlm bentuk $\frac u v$ (u = 1 & v = cos x ), ananda pula mampu pribadi mencari turunan dr $( \cos )^-1$ yakni

$- ( \cos x)^-2 (- \sin x) = \frac \sin x \cos^2 x = \frac 1 \cos x . \frac \sin x \cos x = \sec x \tan x$

7. Teorema Limit untuk Trigonometri

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac ax \sin bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax \sin bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax \sin bx =\frac a b$

8. Bentuk Khusus k.cos(x – a) atau k.sin(x + a)

$A \ sin x + B \cos x = k \cos(x-b) = k \sin (x + a)$

$k = \sqrt A^2 + B^2$

$a = \tan^ -1 (\frac B A )$

$b = \tan^ -1 (\frac B A )$

9. Aturan L’Hospital

Jika $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \frac 0 0$ atau $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \frac \infty \infty$

Maka berlaku $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \lim \limits_ x \to c \frac f'(x) g'(x)$

Contoh Soal Limit Trigonometri & Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 2 \frac 1- \cos 2x 2 \cos x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to \frac n 2 \frac 1- \cos 2x 2 \cos x = \frac 1- \cos \pi 2 \cos \frac \pi 2 = \frac 1 + 1 2( 0 ) = \frac 2 0 = \infty$ (Bentuk pasti)

Contoh 2

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 3x \sin 2x + \cos x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 3x \sin 2x + \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 0 \sin 0 + \cos 0 = \frac 0 0 + 1 = \frac 0 1 = 0$ (Bentuk tentu)

Contoh 3

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos 2x - 1 \cos 4x -1$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 x \cos x- \sin x \frac 1-1 \frac 1 2 \sqrt 2 - \frac 1 2 \sqrt 2 = \frac 0 0$ ( Bentuk Tak Tentu )

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim\limits_ x \to 0 \frac \cos 2x - 1 \cos 4x - 1 = \lim\limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 x - 1 1 - 2 \sin^2 2x - 1$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x \sin^2 2x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x (2 \sin x \cos x)^2$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x 4 \sin^2 x \cos^2 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac 1 4 \cos^2 x = \frac 1 4$

Cara 2 (Menggunakan Dalil L’Hospital)

$\lim\limits_ x \to 0 \frac \cos 2 x - 1 \cos 4 x - 1 = \lim\limits_ x \to 0 \frac - 2 \sin 2 x -4 \sin 4 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin 2 x ( 2 \sin 4 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac 2 \cos 2 x 8 \cos 4 x$

$= \frac 2(1) 8(1)$

$= \frac 1 4$

Contoh 4

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 -2 \sin^2 x \cos x - \sin x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x = \frac 0 0$ (Bentuk Tak Tentu)

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \ sin^2 x \cos x - \sin x = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \cos 2 x \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \ cos^2 x - \sin^2 x \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 (\cos x + \sin x)$

$= \frac 1 2 \sqrt 2 + \frac 1 2 \sqrt 2$

$= \sqrt 2$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \ sin^2 x \cos x - \sin x = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac -4 \sin x \cos x - \sin x - \cos x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 4 \sin x \cos x \sin x + \cos x$ $

$= \frac 4(\frac 1 2 \sqrt 2 )(\frac 1 2 \sqrt 2 ) \frac 1 2 \sqrt 2 + \frac 1 2 \sqrt 2$

$= \frac 2 \sqrt 2$

$= \sqrt 2$

Contoh 5

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x )$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x ) = \infty - \infty$ (Bentuk Tak Tentu)

$\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x ) = \lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \frac 0 0$

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

Dari rumus sudut rangkap, $\cos 2 x = 1 -2 \sin^2 x$

Maka $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac 1 2 x$

Akibatnya

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 \frac 1 2 x - 1 x \cos x$

$= \lim \limits_ x \to 0 \frac - 2 \sin^2 \frac 1 2 x x \cos x$

$= -2 \lim \limits_ x \to 0 (\frac \sin \frac 1 2 x \sin \frac 1 2 x x \cos x . \frac \frac 1 2 x \frac 1 2 x )$

$= -2 \lim \limits_ x \to 0 (\frac \sin\frac 1 2 x x . \frac \sin \frac 1 2 x \frac 1 2 x . \frac \frac 1 2 x \cos x )$

$= -2(\frac 1 2 ) (1) \lim \limits_ x \to 0 \frac x 2 cos x$

$= (-1)(\frac 0 2 )$

$= 0$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac - \sin x \cos x - x \sin x$

$= \frac 0 1$

$= 0$

Contoh 6

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) 4x - \pi$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) 4x - \pi = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (- \frac \pi 4 ) + \frac 1 \sqrt 2 \cos (- \frac \pi 4 ) 4x - \pi = \frac 0 0$

Cara 1 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) 4x - \pi = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac (- 2) \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) + (-2) \frac 1 \sqrt 2 \cos (- \sin(\frac \pi 4 - 2x)) 4x - \pi$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac - \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) + \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) 4$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac - \sqrt 2 \cos (-\frac \pi 4 ) + \sqrt 2 \sin (- \frac \pi 4 ) 4$

$= \frac - \sqrt 2 ( \frac 1 2 \sqrt 2 ) + \sqrt 2 (- \frac 1 2 \sqrt 2 ) 4$

$= \frac -2 4$

$= - \frac 1 2$

Cara 2 (Mengubah bentuk trigonometri)

Gunakan rumus

$A \sin x + B \cos x = K \sin (x + a)$

$k = \sqrt A^2 + B^2$

$a = \tan^ -1 (\frac B A )$

Maka untuk

$\frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x)$

$k = \sqrt (\frac 1 \sqrt 2 )^2 + (\frac 1 \sqrt 2 )^2 = \sqrt 1 = 1$

$a = \tan^ -1 (\frac \frac 1 \sqrt 2 \frac 1 \sqrt 2 ) = \tan ^-1 (1) =\frac \pi 4$

Jadi

$\frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \sin ( \frac \pi 4 - 2x) = \sin (\frac \pi 4 - 2x + \frac \pi 4 ) = \sin (\frac \pi 2 - 2x)$

Akibatnya

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) 4x - \pi = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \sin (\frac \pi 2 - 2x) 4x - \pi$

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \sin(- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi$

Perhatikan bahwa $x \to \frac \pi 4$ ekivalen dgn $4x \to \pi$ atau $4x - \pi \to 0$

Kaprikornus

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \sin (- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi = \lim \limits_ (4x - \pi) \to 0 \frac \sin (- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi =- \frac 1 2$

Referensi

Naskah Soal UTUL UGM Tahun 2009 & 2006 dgn sedikit penyesuaian

Purcell and Varberg, Calculus and Analitical Geometry, 9th Edition

Substansi Penyelesaian Soal Limit dengan-cara Umum

Saat ananda ingin menentukan nilai $\lim \limits_ x \to c f (x)$ , pertama yg WAJIB ananda kerjakan yakni substitusi nilai x = c ke f(x) yg menghasilkan f(c) = L. Nilai L bisa bernilai tentu atau tak pasti.

A. Bentuk Tentu

Bentuk tentu dr L umpamanya $5, 0, \infty$ , $\sqrt 2$ , $(\frac 0 3 =0)$ , $(\frac -3 \infty =0)$ , $(\frac \infty -4 =-\infty)$ , $(\infty + \infty = \infty)$ , $(\infty . \infty = \infty)$ , $(\frac 0 \infty =0)$ , $(\frac \infty 0 =\infty)$ , $(\infty ^\infty= \infty)$ & $(0^\infty =0)$

Ciri bentuk pasti adalah operasinya saling menolong atau TIDAK bersaing, ini berarti keduanya sama-sama menguatkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk pasti, maka L yakni nilai limit tersebut.

B. Bentuk Tak Tentu

Bentuk tak tentu dr L contohnya $(\frac 0 0 )$ , $(\frac \infty \infty )$ , $(\infty - \infty)$ , $(0 .\infty), (0^0), (\infty^0), (1^\infty)$

Khusus 3 bentuk terakhir dibahas untuk bahan pendalaman, sementara bentuk $(0.\infty)$ ananda harus ketahui sebagai bentuk lain dr $(\frac 0 0 )$ atau $(\frac \infty \infty )$ dgn mengasumsikan $\infty$ selaku $\frac 1 0$ , atau 0 sebagai $\frac 1 \infty$ .

Secara biasa , ciri bentuk tak tentu ialah operasinya SALING berkompetisi, ini bermakna keduanya sama-sama saling melemahkan untuk menuju hasil. Jika L bentuk tak pasti, maka harus menggunakan banyak sekali metode untuk menyelesaikannya, contohnya mengganti bentuk fungsi, memfaktorkan, menggunakan bentuk sekawan sekawan pada perkara $(\infty - \infty)$ atau menggunakan Dalil L’Hospital pada bentuk $(\frac 0 0 )$ atau $(\frac \infty \infty )$ . Sedangkan 3 bentuk terakhir memakai dukungan konsep logaritma natural untuk menyelesaikannya.

Dalam solusi soal Limit Trigonometri, metode yg sering dipakai ialah substitusi, pemfaktoran, menyamakan penyebut, turunan (Dalil L’Hospital), atau perkalian dgn bentuk sekawan.

Limit Fungsi Trigonometri

Supaya ananda mampu melahap semua soal limit trigonometri, rancangan yg wajib ananda kuasai ialah:

1. Identitas Trigonometri

$sin^2 x + cos^2 x =1$

$1+cot^2 x = csc^2 x$

$1+ tan^2 x = sec^2 x$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Baris kedua diperoleh dgn membagi baris pertama dgn $sin^2 x$

Baris ketiga diperoleh dgn membagi baris pertama dgn $cos^2 x$

2. Rumus Jumlah & Selisih Sudut

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$

$\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

$\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\tan (x + y) = \frac \tan x + \tan y 1- \tan x \tan y$

$\tan (x - y) = \frac tan x - \tan y 1+ \tan x \tan y$

Catatan: Jangan dihapal semua!

Misal untuk menentukan sin(x – y), cukup gunakan rumus sin(x+y) dgn cara menyatakan sin(x – y) = sin(x + (-y))

3. Rumus Perkalian

$2 \sin x \cos y = \sin (x + y) + \sin (x - y)$

$2 \cos x \sin y = \sin (x + y) - \sin (x - y)$

$2 \cos x \cos y = \cos (x + y) + \cos (x - y)$

$-2 \sin x \sin y = \cos (x + y) - \cos (x - y)$

Catatan: Semua rumus perkalian TIDAK PERLU dihapalkan, CUKUP turunkan saja dr Rumus Jumlah & Selisih Sudut.

Misal untuk mendapatkan Rumus baris pertama:

$\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$

$\underline \sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y _+$

$\sin (x + y) + \sin (x - y) = 2 \sin x \cos y$

4. Rumus Penjumlahan & Pengurangan

$\sin p + \sin q =2 \sin(\frac p +q 2 ) \cos(\frac p - q 2 )$

$\sin p - \sin q =2 \cos(\frac p +q 2 ) \sin(\frac p - q 2 )$

$\cos p + \cos q =2 \cos(\frac p +q 2 ) \cos(\frac p - q 2 )$

$\cos p - \cos q = -2 \sin(\frac p +q 2 ) \sin(\frac p - q 2 )$

Catatan: Semua rumus ini pun TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk mendapatkan nilai sin p + sin q, ananda hanya perlu menurunkan rumus jumlah & selisih sudut dgn cara memisalkan x + y = p & x – y = q

5. Sudut Rangkap

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$

$\cos 2 x = cos^2 x - \sin^2 x=1 -2 \sin^2 x=2 \cos^2 x-1$

$\tan 2 x = \frac 2 \tan x 1- \tan^2 x$

Catatan: Semua rumus ini pula TIDAK PERLU dihapal!

Misal untuk mendapatkan nilai sin 2x, ananda tinggal menyatakan dlm bentuk sin (x + x) sesuai dgn rumus jumlah sudut.

Gunakan pula identitas trigonometri untuk tahu kombinasi rumus cosinus sudut rangkap.

6. Turunan Trigonometri

f (x)	f’ (x)
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$\tan x$	$\sec^2$
$\sec x$	$\sec x \tan x$
$\csc c$	$- \csc x \cot x$
$\cot x$	$- \csc^2$

Catatan: Kamu hanya perlu menghapal turunan dr sin x & cos x saja, sisanya bisa menurunkan sendiri, misal tan x dinyatakan dlm $\frac \sin x \cos x$ yg merupakan bentuk $\frac u v$ , turunannya yakni

$\frac u'v - uv' v^2 = \frac \cos x \dot \cos x - \sin x( - \sin x) \cos^2 x = \frac \cos^2 x + \sin^2 x \cos^2 x = \frac 1 \cos^2 x = \sec^2 x$

Untuk fungsi seperti $\sec x = \frac 1 \cos x = ( \cos x )^-1$ , selain ananda mampu menyatakannya dlm bentuk $\frac u v$ (u = 1 & v = cos x ), ananda pula mampu eksklusif mencari turunan dr $( \cos )^-1$ yakni

$- ( \cos x)^-2 (- \sin x) = \frac \sin x \cos^2 x = \frac 1 \cos x . \frac \sin x \cos x = \sec x \tan x$

7. Teorema Limit untuk Trigonometri

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac ax \sin bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax \sin bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin ax \tan bx =\frac a b$

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \tan ax \sin bx =\frac a b$

8. Bentuk Khusus k.cos(x – a) atau k.sin(x + a)

$A \ sin x + B \cos x = k \cos(x-b) = k \sin (x + a)$

$k = \sqrt A^2 + B^2$

$a = \tan^ -1 (\frac B A )$

$b = \tan^ -1 (\frac B A )$

9. Aturan L’Hospital

Jika $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \frac 0 0$ atau $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \frac \infty \infty$

Maka berlaku $\lim \limits_ x \to c \frac f(x) g(x) = \lim \limits_ x \to c \frac f'(x) g'(x)$

Contoh Soal Limit Trigonometri & Pembahasan

Contoh 1

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 2 \frac 1- \cos 2x 2 \cos x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to \frac n 2 \frac 1- \cos 2x 2 \cos x = \frac 1- \cos \pi 2 \cos \frac \pi 2 = \frac 1 + 1 2( 0 ) = \frac 2 0 = \infty$ (Bentuk pasti)

Contoh 2

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 3x \sin 2x + \cos x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 3x \sin 2x + \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac \sin 0 \sin 0 + \cos 0 = \frac 0 0 + 1 = \frac 0 1 = 0$ (Bentuk tentu)

Contoh 3

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos 2x - 1 \cos 4x -1$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 x \cos x- \sin x \frac 1-1 \frac 1 2 \sqrt 2 - \frac 1 2 \sqrt 2 = \frac 0 0$ ( Bentuk Tak Tentu )

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim\limits_ x \to 0 \frac \cos 2x - 1 \cos 4x - 1 = \lim\limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 x - 1 1 - 2 \sin^2 2x - 1$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x \sin^2 2x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x (2 \sin x \cos x)^2$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin^2 x 4 \sin^2 x \cos^2 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac 1 4 \cos^2 x = \frac 1 4$

Cara 2 (Menggunakan Dalil L’Hospital)

$\lim\limits_ x \to 0 \frac \cos 2 x - 1 \cos 4 x - 1 = \lim\limits_ x \to 0 \frac - 2 \sin 2 x -4 \sin 4 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac \sin 2 x ( 2 \sin 4 x$

$= \lim\limits_ x \to 0 \frac 2 \cos 2 x 8 \cos 4 x$

$= \frac 2(1) 8(1)$

$= \frac 1 4$

Contoh 4

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 -2 \sin^2 x \cos x - \sin x$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x = \frac 0 0$ (Bentuk Tak Tentu)

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \ sin^2 x \cos x - \sin x = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \cos 2 x \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \ cos^2 x - \sin^2 x \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x) \cos x - \sin x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 (\cos x + \sin x)$

$= \frac 1 2 \sqrt 2 + \frac 1 2$

$= \sqrt 2$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 1 - 2 \ sin^2 x \cos x - \sin x = \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac -4 \sin x \cos x - \sin x - \cos x$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac 4 \sin x \cos x \sin x + \cos x$ $

$= \frac 4(\frac 1 2 \sqrt 2 )(\frac 1 2 \sqrt 2 ) \frac 1 2 \sqrt 2 + \frac 1 2 \sqrt 2$

$= \frac 2 \sqrt 2$

$= \sqrt 2$

Contoh 5

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x )$

Pembahasan

$\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x ) = \infty - \infty$ (Bentuk Tak Tentu)

$\lim \limits_ x \to 0 (\frac 1 x - \frac 1 x \cos x ) = \lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \frac 0 0$

Cara 1 (Mengubah Bentuk Trigonometri)

Dari rumus sudut rangkap, $\cos 2 x = 1 -2 \sin^2 x$

Maka $\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac 1 2 x$

Akibatnya

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac 1 - 2 \sin^2 \frac 1 2 x - 1 x \cos x$

$= \lim \limits_ x \to 0 \frac - 2 \sin^2 \frac 1 2 x x \cos x$

$= -2 \lim \limits_ x \to 0 (\frac \sin \frac 1 2 x \sin \frac 1 2 x x \cos x . \frac \frac 1 2 x \frac 1 2 x )$

$= -2 \lim \limits_ x \to 0 (\frac \sin\frac 1 2 x x . \frac \sin \frac 1 2 x \frac 1 2 x . \frac \frac 1 2 x \cos x )$

$= -2(\frac 1 2 ) (1) \lim \limits_ x \to 0 \frac x 2 cos x$

$= (-1)(\frac 0 2 )$

$= 0$

Cara 2 (Dalil L’Hospital)

$\lim \limits_ x \to 0 \frac \cos x - 1 x \cos x = \lim \limits_ x \to 0 \frac - \sin x \cos x - x \sin x$

$= \frac 0 1$

$= 0$

Contoh 6

Tentukan nilai $\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) \frac 1 \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) 4x - \pi$

Pembahasan

Cara 1 (Dalil L’Hospital)

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac - \sqrt 2 \cos (\frac \pi 4 - 2x) + \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) 4$

$= \lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac - \sqrt 2 \cos (-\frac \pi 4 ) + \sqrt 2 \sin (- \frac \pi 4 ) 4$

$= \frac - \sqrt 2 ( \frac 1 2 \sqrt 2 ) + \sqrt 2 (- \frac 1 2 \sqrt 2 ) 4$

$= \frac -2 4$

$= - \frac 1 2$

Cara 2 (Mengubah bentuk trigonometri)

Gunakan rumus

$A \sin x + B \cos x = K \sin (x + a)$

$k = \sqrt A^2 + B^2$

$a = \tan^ -1 (\frac B A )$

Maka untuk

$\frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x)$

$k = \sqrt (\frac 1 \sqrt 2 )^2 + (\frac 1 \sqrt 2 )^2 = \sqrt 1 = 1$

$a = \tan^ -1 (\frac \frac 1 \sqrt 2 \frac 1 \sqrt 2 ) = \tan ^-1 (1) =\frac \pi 4$

Jadi

$\frac 1 \sqrt 2 \sin (\frac \pi 4 - 2x) + \frac 1 \sqrt 2 \sin ( \frac \pi 4 - 2x) = \sin (\frac \pi 4 - 2x + \frac \pi 4 ) = \sin (\frac \pi 2 - 2x)$

Akibatnya

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \sin(- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi$

Perhatikan bahwa $x \to \frac \pi 4$ ekivalen dgn $4x \to \pi$ atau $4x - \pi \to 0$

Kaprikornus

$\lim \limits_ x \to \frac \pi 4 \frac \sin (- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi = \lim \limits_ (4x - \pi) \to 0 \frac \sin (- \frac 1 2 ) (4x - \pi) 4x - \pi =- \frac 1 2$

Referensi

Naskah Soal UTUL UGM Tahun 2009 & 2006 dgn sedikit penyesuaian

Purcell and Varberg, Calculus and Analitical Geometry, 9th Edition

Artikel: Limit Fungsi Trigonometri

Kontributor: Farid M. Sandeeve, S.Si

Alumni FMIPA UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:

Matriks

Mean Median Modus

Turunan