Logika Matematika

by

Dalam logika matematika, kita berguru untuk mementukan nilai dr sebuah pernyataan, baik bernilai benar atau salah. Pernyataan sendiri terbagi menjadi 2 jenis, yakni:

  1. Pernyataan tertutup (kalimat tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup ialah sebuah pernyataan yg telah memiliki nilai benar atau salah.

Contoh:

“5 adalah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah sebab yg benar ialah “5 yakni bilangan ganjil”.

  1. Pernyataan terbuka (kalimat terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka ialah suatu pernyataan yg belum dapat ditentukan nilai kebenarannya alasannya adalah adanya sebuah perubah atau variabel.

Contoh nalar matematika:

p(x): 3x+1 > 6, x \in \mathbb R ” class=”latex” /></p> <p></p> <p>Saat <img decoding=, maka p(1): 3(1) + 1 > 6″ class=”latex” /> bernilai salah</p> <p>Saat <img decoding=, maka p(2): 3(2) + 1 > 6″ class=”latex” /> bernilai benar</p> <p></p> <div id=

Daftar Isi

Ingkaran atau Negasi dr suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi ialah kebalikan nilai dr sebuah pernyataan, dimana tatkala suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah & ketika sebuah pernyataan bernilai salah, negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dr pernyataan pdilambangkan dgn \sim p.

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor ialah bentuk logika matematika berupa pernyataan yg memiliki kuantitas. Dalam pernyataan kuantor, kebanyakan terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, & sebagian.

Kata-kata yg senilai dgn seluruh, semua, setiap tergolong dlm kuantor universal & kata-kata yg senilai dgn sebagian, beberapa, ada termasuk dlm kuantor eksistensial. Kuantor universal & kuantor eksistensial saling beringkaran.

p: semua orang adalah sarjana (Kuantor universal)

\sim p: sebagian orang ialah tak sarjana

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen & Ingkarannya

Dalam nalar matematika, beberapa pernyataan dapat dibuat menjadi satu pernyataan dgn menggunakan kata penghubung nalar mirip dan, atau, maka & kalau & hanya jika. Pernyataan adonan tersebut disebut dgn pernyataan majemuk.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebur masing-masing mempunyai lambang & ungkapan sendiri.

kata hubung pernyataan majemuk

Tabel Kebenaran Konjungsi

tabel kebenaran konjungsi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa sifat dr konjungsi yaitu bernilai benar jikalau kedua pernyataan penyusun dr peryataan beragam keduanya bernilai benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

logika matematika disjungsi

Dari tabel diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa sifat dr disjungsi adalah bernilai salah bila kedua pernyataan penyusun dr peryataan beragam keduanya bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

tabel implikasi

Pada sifat implikasi ini, p \Rightarrow q, p disebut selaku hipotesa & q selaku konklusi. Pada implikasi ini akan bernilai salah tatkala konklusi salah & hipotesa benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

tabel biimplikasi

Pada sifat biimplikasi, penyataan beragam akan bernilai benar jikalau kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi & Kontradiksi

Tautologi ialah pernyataan beragam yg selalu benar untuk semua kemungkinan yg ada & pertentangan adalah kebalikannya, yaitu pernyataan beragam yg bernilai salah untuk semua kemungkinan yg ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan beragam yg mempunyai nilai sama untuk semau kemungkinannya dibilang ekuivalen. Notasi ekuivalen dlm nalar matematika yakni “\equiv“.

Bentuk-bentuk pernyataan yg saling ekuivalen yakni:

bentuk ekuivalen tabel kebenaran

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi: \sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q

Ingkaran Disjungsi: \sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q

Ingkaran Implikasi: \sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q

Ingkaran Biimplikasi: \sim (p \Leftrightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)

Konvers, Invers & Kontraposisi

Konvers, invers & kontraposisi adalah bentuk lain dr implikasi, dimana:

Konvers dr p \Rightarrow q yaitu q \Rightarrow p

Invers dr p \Rightarrow q yakni \sim p \Rightarrow \sim q

Kontraposisi dr p \Rightarrow q adalah \sim q \Rightarrow \sim p

Penarikan Kesimpulan (Logika Matematika)

Penarikan kesimpulan yakni konklusi dr beberapa pernyataan beragam (premis) yg saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dr beberapa cara, yaitu:

penarikan kesimpulan logika matematika

Contoh Soal Logika Matematika:

Soal 1:

Premis 1 : Jika Andi rajin mencar ilmu, maka Andi juara kelas

Premis 2 : Andi rajin berguru

Kesimpulan dr kedua premis diatas yakni ….

Jawab:

Premis 1               : p \Rightarrow q

Premis 2               : p

Kesimpulan          : q (modus ponens)

Makara kesimpulannya yaitu Andi juara kelas.

Soal 2:

Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur

Premis 2   : sekolah tak libur

Kesimpulan dr kedua premis diatas yakni ….

Jawab:

Premis 1               : p \Rightarrow q

Premis 2               : \sim q

Kesimpulan          : (modus tollens)

Jadi kesimpulannya yakni hari tak hujan.

Soal nalar matematika 3:

Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah

Premis 2   : Jika Ibu murka, maka Ani tak dapat uang saku

Kesimpulan dr kedua premis diatas yaitu …

Jawab:

Premis 1               : p \Rightarrow q

Premis 2               : q \Rightarrow r

Kesimpulan          : p \Rightarrow r(silogisme)

Jadi kesimpulannya ialah Jika Ani nakal, maka Ani tak mampu uang saku.

 

Judul Artikel: Logika Matematika

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.

Alumni Teknik Elektro UI

Materi Sosiologiku.com lainnya:

  1. Pengertian & Jenis Matriks

  2. Transformasi Geometri

  3. Vektor

  Kota A dan kota E dihubungkan oleh beberapa jalan melalui kota B, C, dan D.