Peluang, Permutasi, & Kombinasi -

Kaidah pencacahan

Ada tiga metode dlm kaidah pencacahan:

Aturan Pengisian Tempat yg Tersedia

Untuk mengetahui metode ini, kita dapat menjabarkannya menggunakan pasangan terurut. Jika suatu peristiwa pertama dapat terjadi dlm $n_1$ cara yg berbeda, insiden kedua mampu terjadi dlm cara yg berlainan, & seterusnya maka kejadian-kejadian itu dengan-cara berurutan dapat terjadi:

$n_1 \times n_2 \times n_3$ … cara yg berbeda

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Trigonometri

SPLDV & SPLTV

Sebagai ilustrasi: misalkan seorang pekerja mempunyai 4 buah kemeja & 2 buah dasi yg masing-masing mempunyai warna yg berbeda. Berapa pasangan warna kemeja & dasi yg dapat dibuat? Jika himpunan kemeja yakni k = ( $k_1, k_2, k_3, k_4$ ) = 4 buah & himpunan dasi adalah d = ( $d_1, d_2$ ) = 2 buah. Sehingga dapat diputuskan bahwa:

$n_k \times n_d$ = 4 x 2 = 8 cara

Permutasi

Permutasi yaitu susunan berurutan dr semua atau sebagian elemen dr suatu himpunan. Dalam permutasi perlu diketahui apalagi dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bundar dr 1 sampai n ialah n! (dibaca : n faktorial) atau :

$n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1$

Contoh, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Untuk menyelesaikan soal permutasi terdapat 4 metode yakni:

1. Permutasi dr elemen yg berbeda

Permutasi elemen dr elemen yg ada (setiap elemen berbeda) yakni susunan elemen itu dlm suatu urutan yg diamati. Jika , ( $r > n” class=”latex” />) permutasinya: <img decoding=$ .

Sehingga jikalau $n = r$ , permutasinya: $_nP_r = n!$ .

Jika A(3,-1,-2), B(1,1,2) dan C(-1,-3,0), dengan

Sebagai gambaran: menyususn 3 elemen dr 3 abjad : a,b,c ialah a,b,c a,c,b b,c,a b,a,c c,a,b c,b,a dgn $_3P_3 = 3! = 6$ . Sedangkan menyusun 2 elemen dr 3 abjad ialah dengan . $_3P_2 = \frac 3! (3 - 2)! = 3! = 6$ .

2. Permutasi dgn Beberapa elemen yg sama

Setiap unsur yg digunakan tak boleh lebih dr satu kali. Banyak permutasi elemen n yg menampung elemen $n_1, n_2, n_3 \cdots, n_r,$ , dengan $n_1 + n_2 + n_3, \cdots n_r \le$ yakni:

$_nP(n_1,n_2,n_3, \cdots, n_r) = \frac n! n_1!,n_2!,\cdots,n_r!$

Sebagai ilustrasi: ada 3 bola basket & 2 bola kasti. Jumlah cara menyusunnya:

$p = \frac n! n_1!,n_2!,\cdots,n_r! = \frac 6! 3! 2! = \frac 6 \times 5 \times 4 \times 3! 3! \times (2 \times 1) = 60$ .

3. Permutasi siklis

Rumus permutasi siklis biasanya digunakan untuk mengkalkulasikan banyak cara yg mampu dibentuk dr susunan melingkar. Rumusnya yakni

$P_(siklis) = (n - 1)!$

Sebagai ilustrasi: banyaknya cara 4 orang duduk melingkar dlm 1 meja ialah

$P = (4 - 1)! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang ialah permutasi yg dlm penyusunannya urutan diperhatikan & suatu objek mampu diseleksi lebih dr sekali (berulang). Banyaknya permutasi ini ialah

$P_(berulang) = n^r$

Sedangkan untuk rumus permutasi yg tak boleh ditulis berulang adalah

$P_(tidak berulang)= \frac n! (n - r)!$

Yuk berguru materi ini juga:

Kapasitor

Reaksi Adisi Substitusi Eliminasi

Sintesis Protein

Kombinasi

Kombinasi yaitu pengelompokan dr semua atau sebagian elemen dr suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya. Banyaknya variasi adalah :

$_nC_r = \frac n! r!(n - r)!$

Sebagai gambaran : variasi 2 elemen dr 3 karakter a,b,c adalah ab, ac, bc . Sedangkan ba, ca, cb tak termasuk hitungan sebab pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak variasi adalah :

$_3C_2 = \frac 3! 2! (3 - 2)! = \frac 3! 2! = \frac 3 \times 2 \times 1 2 \times 1 = 3$

Binom Newton

Binom Newton berhubungan dgn bentuk $(a + b)^2$ . Dimana suku ke-r dr bentuk tersebut yaitu :

Suku ke – r = $_nC_ r-1 \times a^ n-r+1 \times b^ r-1$

Sebagai ilustrasi: koefisien $x^ 27$ dr $(x^2 + 2x)^ 15$ yaitu:

$_nC_ r - 1 x a^ n - r + 1 x b^ r - 1 = _ 15 C_ r - 1 x (x^2)^ 15 - r + 1 x (2x)^ r - 1$

$= _ 15 C_ r - 1 x (x^ 30 - 2r + 2 ) x (2x)^ r - 1$

Agar x berpangkat 27 dibuat:

$27 = (30 - 2r - 2) +(r - 1)\overset maka \rightarrow r = 4$

Sehingga:

suku ke – 4 = $_ 15 C_ r - 1 x (x^ 30 - 2r + 2 ) x (2x)^ r - 1 = _ 15 C_3 x (x^ 30 -8 +2 ) x (2x)^ 4 - 1$ .

$_ 15 C_3 . x^ 24 8x^3 = _ 15 C_3 . 8x^ 27 = \frac 15! 12!3! 8x^ 27 = 3640x^ 27$ .

Koefisiennya: 3640

Peluang Suatu Kejadian

Peluang atau probabilitas yaitu kemungkinan suatu kejadian dapat terjadi. Percobaan merupakan suatu proses yg dijalankan untuk kemudian mendapatkan suatu hasil pengukuran, perhitungan, ataupun observasi. Himpunan dr semua hasil yg mungkin dr suatu percobaan disebut ruang sampel (S). Sehingga insiden atau kejadian merupakan himpunan kepingan dr ruang sampel atau bagian dr hasil percobaan yg dikehendaki.

Nilai probalitas antara 0 – 1. Kejadian yg mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yg mustahil terjadi atau tak mungkin terjadi. Sedangkan insiden yg mempunyai nilai probalilitas 1 ialah peristiwa yg niscaya terjadi atau peristiwa yg telah terjadi.

Peluang atau probabilitas suatu insiden A dapat terjadi dgn k & mungkin hasil terjadi m cara selaku :

$P(A) = \frac k m$

Frekuensi harapan suatu peristiwa yaitu hasil kali banyaknya percobaan dgn peluang insiden yg akan terjadi dlm suatu percobaan atau:

$f_n(E) = n \cdot P(A)$

Yuk berguru materi ini juga:

Konjungsi Temporal & Kausalitas

Discussion Text

Senyawa Karbon

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian

Dua buah peristiwa A & B dibilang adonan dua insiden kalau kejadian A & B peristiwa dapat terjadi serempak sehingga $A\cap B\neq \O$ dan menghasilkan rumus:

peluang kejadian majemuk

Peluang Gabungan Dua Kejadian yg Saling Lepas

Dua buah peristiwa A & B dibilang gabungan dua peristiwa saling lepas jika peristiwa A & B tak mungkin terjadi serempak. Sehingga $A\cap B$ dan menciptakan rumus:

peluang gabungan saling lepas

Peluang Komplemen suatu Kejadian

Kejadian merupakan aksesori/ kebalikan A sehingga A danA’ merupakan insiden saling lepas, maka $A\cap A' = \O$ . Sehingga menghasilkan rumus:

materi permutasi kombinasi komplemen

Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian disebut peristiwa bersyarat kalau munculnya kejadian pertama A mensugesti peluang munculnya kejadian kedua B. Maka peluang terjadinya peristiwa B yg dipengaruhi oleh kejadian A ditulis dengan $P(B\mid A)$ . Bila $P(A\cap B)$ ialah potensi terjadinya A & B , maka

$P(B\mid A) = \frac P(A\cap B) P(A)$

Contoh Soal Peluang & Pembahasan

Contoh Soal 1

Dalam sebuah kotak berisi 7 bola merah & 5 bola putih. Dari kota itu diambil 3 bola sekaligus. Peluang terambil sedikitnya 1 bola putih ialah

Pembahasan 1:

Karena mesti terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih maka peluang tak terambilnya bola putih tak tergolong itungan sehingga:

$P = 1 - P(O) = 1 - \frac _7C_3 \times _5C_0 _ 12 C_3$

$P = 1 - \frac \frac 7 \times 6 \times 5 \times 4! 3!(7 - 3)! \times \frac 5! 0!(5 - 0)! \frac 12 \times 11 \times 10 \times 9! 3!(12 - 3)!$

$P = 1 - \frac 35 \times 1 220 = \frac 37 44$

Contoh Soal 2

Tentukanlah nilai n yg menyanggupi persamaan

Pembahasan 2:

$3 \cdot \frac (n + 1)! 3!(n + 1 - 3)! = 7 \cdot \frac n! 2!(n - 2)!$

$3 \cdot \frac (n - 1)n (n - 1)(n - 2)! (3.2.1)(n - 2)! = 7 \cdot \frac n(n - 1)(n - 2)! 2 . 1(n -2)!$

$3 \cdot \frac (n + 1)n (n - 1) 3.2.1 = \frac 7 \cdot n(n - 1) 2.1$

$\frac 3 . 2 . 1 (n + 1)n(n - 1) 3 . 2 . 1 n(n - 1) = 7$

$(n + 1) 7\overset sehingga \rightarrow n = 6$

Contoh Soal 3

Berapa banyak urutan yg dapat terjadi bila 5 bendera yg berwarna putih, merah, hijau, kuning, & biru dipancang pada tiang-tiang dlm satu baris, dgn bendera putih selalu berada di salah satu ujung.

Pembahasan 3:

Karena bendera putih dipancang dlm salah satu ujung maka dgn 2 cara, sisa 4 bendera mampu dikelola dlm $_4P_4$ cara, sehingga: