Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen - Dari Sosiologi untuk Indonesia

Daftar Isi

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dr bilangan eksponen dgn pangkat yg menampung suatu fungsi, atau persamaan perpangkatan yg bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Integral Tentu & Penggunaan Integral

Trigonometri

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

PE bentuk $a^ f(x) = a^p$

Jika $a>0″ class=”latex” /> & <img decoding=$ , maka f(x) = p.

Contoh:

$2^ 3x = 2^6$

Maka:

$3x = 6$

$x=2$

PE bentuk $a^ f(x) = a^ g(x)$

Jika a>0 & a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$

Contoh:

$2^ 3x+1 = 2^ 2x+3$

Maka:

$3x+1 = 2x+3$

$x = 2$

PE bentuk $a^ f(x) = b^ f(x)$

Jika $a>0″ class=”latex” />, <img decoding=$ , $b>0″ class=”latex” />, <img decoding=$ , & $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0

Contoh:

$2^ 3x+1 = 5^ 3x+1$

Maka:

$3x + 1 = 0$

$x = -\frac 1 3$

PE bentuk $a^ f(x) = b^ g(x)$

Penyelesaian didapat dgn melogaritmakan kedua ruas

Contoh:

$2^ 3x+1 = 10^ 3x$

Maka:

$\log 2^ 3x+1 = \log 10^ 3x$

$(3x+1)\log 2 = (3x)$

$3x \log 2 + \log 2 = 3x$

$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$

$x = \frac \log 2 3(1 - \log 2)$

PE bentuk $(h(x))^ f(x) = (h(x))^ g(x)$

Kemungkinan yg mampu terjadi adalah:

$f(x) = g(x)$

Contoh:

$(3x+2)^ (3x+1) = (3x+2)^ (2x+3)$

Mungkin:

$(3x+1) = (2x+3)$

$x =2$

$h(x) = 1$

Contoh:

$(3x+2)^ (3x+1) = (3x+2)^ (2x+3)$

Mungkin:

$(3x+2) = 1$

$x = -\frac 1 3$

$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ & $g(x)$ keduanya aktual

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+2) = 0$

$x = -\frac 2 3$

$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ & $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh:

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

Mungkin:

$(3x+ 2) = -1$

$x=-1$

Persamaan Eksponen Dalam Bentuk Aljabar

Jika terdapat sebuah persamaan eksponen dlm bentuk aljabar selaku berikut:

$A(a^ f(x) )^2 + B(a^ f(x) ) + C = 0$

Dengan $a^ f(x)$ yaitu persamaan eksponen, $a\ne 1$ , & konstanta A, B, C adalah bilangan real serta $A\ne 0$ dapat dituntaskan dgn menggantinya ke persamaan kuadrat.

Pengubahan dgn cara memisalkan $y = a^ f(x)$ sehingga akan diperoleh persamaan kuadrat gres:

$A(y)^2 + B(y) + C = 0$

Yuk belajar materi ini juga:

Teori Atom

Keanekaragaman Hayati

Teks Eksposisi

Akar-akar dr persamaan kuadrat tersebut disubstitusikan ke dlm bentuk persamaan eksponen $y = a^ f(x)$ . Dengan cara penyelesaian biasa, nilai-nilai x bisa diperoleh.

Sebagai teladan dimengerti suatu persamaan eksponen: $(2x+7)^2 - 4(2x+7)+3 = 0$ .

Maka penyelesaiannya adalah dgn memisalkan persamaan tersebut menjadi:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

sehingga

$(y - 3)(y - 1) = 0$

$y_1 = 3$ & $y_2 = 1$

diperoleh,

$y_1 =2x+7$

$3 = 2x+7$

$x = -2$

dan

$y_2 = 2x+7$

$1 = 2x+7$

$x = -3$

Pertidaksamaan Eksponen

Dalam bentuk pertidaksamaan, sifat-sifat pertidaksamaan eksponen dapat dikenali selaku berikut:

Untuk $a>1″ class=”latex” /><span class=$

Jika $a^ f(x) >a^ g(x) ” class=”latex” />, maka <img decoding=$ $2^ 3x >2^6″ class=”latex” /> Maka: 6″ class=”latex” /> <ul> <li>Jika <img decoding=$ , maka $f(x)<g(x)$

Contoh:

$2^ 3x <2^6$

Maka:

$3x<6$

Jika $a^ f(x) \ge a^ g(x)$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$2^3 \ge 2^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Jika $a^ f(x) \le a^ g(x)$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$2^ 3x \le 2^6$

Maka:

$3x \le 6$

Untuk $0 < a < 1$

Jika $a^ f(x) > a^ g(x) ” class=”latex” />, maka <img decoding=$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x > \frac 1 2 ^6″ class=”latex” /> Maka: <p style=$ $3x < 6$

Jika $a^ f(x) < a^ g(x)$ , maka $f(x) > g(x)” class=”latex” /></li> </ul> Contoh: 6″ class=”latex” /> <ul> <li>Jika <img decoding=$ , maka $f(x)\le g(x)$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x \ge \frac 1 2 ^ 6$

Maka:

$3x\le 6$

Jika $a^ f(x) \le a^ g(x)$ , maka $f(x) \ge g(x)$

Contoh:

$\frac 1 2 ^ 3x \le \frac 1 2 ^6$

Maka:

$3x \ge 6$

Yuk belajar materi ini juga:

Pronoun

Jangka Sorong

Struktur Atom

Contoh Soal Persamaan Eksponen, Pertidaksamaan Eksponen, & Pembahasan

Contoh Soal 1

Akar-akar persamaan $5^ 2x+3 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$ yaitu $x_1$ & $x_2$ .

Jika $x_1 < x_2$ , maka pastikan nilai $2x_1 + x_2$ (UN 2008)

Pembahasan

$5^ 2x+3 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

$5^ 2(x+1)+1 - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

$5((5^ x+1 )^2) - 6(5^ x+1 ) + 1 = 0$

Misalkan $5^ x+1 = y$ , maka

$5(y^2) - 6(y) + 1 = 0$

$y_ 1,2 = \frac -b\pm\sqrt b^2 - 4ac 2a$

$y_ 1,2 = \frac -(-6)\pm \sqrt (-6)^2 - 4(5)(1) 2(5)$

$y_ 1,2 = \frac 6 \pm 4 10$

sehingga $y_1 = \frac 1 5$ & y₂ = 1.

Disubstitusi dlm $5^ x+1 = y$ menjadi

$5^ x+1 = \frac 1 5 = 5^ -1$

$x+1 = -1 \longrightarrow x_1 = -2$

$5^ x+1 = 1 = 5^0$

$x+1 = 0 \longrightarrow x_2 = -1$

Sehingga,

$2x_1 + x_2 = 2 (-2)+(-1) = -5$

Contoh Soal 2

Jika $x>0″ class=”latex” /> & <img decoding=$ menyanggupi $\frac x \sqrt[3] x\sqrt[3] x = x^p$ , serta p bilangan rasional, maka p ialah

(SPMB 2002)

Pembahasan

Dilakukan penyederhanaan di dlm akar:

$\frac x \sqrt[3] x\sqrt[3] x = \frac x \sqrt[3] x(x)^ \frac 1 3 = x^p$

$= \frac x \sqrt[3] (x)^ 1+\frac 1 3 = \frac x \sqrt[3] (x)^ \frac 4 3$

Akar dirubah menjadi pangkat:

$= \frac x ((x)^ \frac 4 3 )^ \frac 1 3 = \frac x ((x)^ \frac 4 9 )$

Bentuk pecahan disederhanakan menjadi:

$x(x)^ -\frac 4 9 = x^p$

$(x)^ 1-\frac 4 9 = x^p$

Maka

$p = 1- \frac 4 9 = \frac 5 9$

Contoh Soal 3

Nilai x yg memenuhi pertidaksamaan eksponen $3^ -x^2+3x \le 1$ yakni:

Pembahasan

$3^ -x^2 + 3x \le 1$

$3^ -x^2 + 3x \le 3^0$

Sehingga,

$-x^2 + 3x \le 0$

$x(-x + 3) \le 0$

Diperoleh,

$x_1 = 0$ & $x_2 = 3$

Untuk mendapat penyelesaiannya, ambil sembarang nilai x diantara rentang $0<x<3$ lalu disubstitusikan kedalam bentuk $-x^2 + 3x \le 0$ . Misal ambil x = 1.