Persamaan Kuadrat -

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dr variabel yg mempunyai pangkat tertinggi dua. Bentuk lazimnya ialah:

$ax^2 + bx + c = 0$

Dengan a, b, merupakan koefisien, & c yakni konstanta, serta $a \neq 0$ .

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Penyelesaian atau pemecahan dr sebuah persamaan ini disebut selaku akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar merupakan nilai dr variabel x yg memenuhi persamaan tersebut. Tatkala nilai tersebut disubstitusikan ke dlm persamaan akan menciptakan nilai nol.

Daftar Isi

Akar-akar Persamaan Kuadrat

Ada tiga sistem dlm mencari akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ yaitu:

Pemfaktoran

Metode ini gampang digunakan kalau akar-akarnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini tabel versi persamaan kuadrat (PK) & berbagai cara pemfaktorannya:

persamaan kuadrat dgn pemfaktoran

Saat memakai metode ini, pertama mesti mengetahui apalagi dulu versi PK yg akan teratasi. Jika model PK sudah diketahui, maka pemfaktoran mampu dikerjakan dlm bentuk sesuai dgn yg ada di kolom tabel di atas. Untuk menerima nilai p, q, m & n kalian mesti mengetahui cara memfaktorkan suatu bilangan.

Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan gampang digunakan bila koefisien a dibuat semoga bernilai 1. PK dlm bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ diubah bentuk menjadi persamaan:

$(x + p)^2 = q$

Dengan p & q yaitu konstanta serta x yaitu variabel. Nilai dr konstanta p & q dr persamaan $x^2 + bx + c = 0$ didapatkan dgn cara:

$p = \frac 1 2 b$

$q = (\frac 1 2 b)^2 - c$

Perubahan tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :

$(x + p)^2 = q$

$(x + \frac 1 2 b)^2 = (\frac 1 2 b)^2 - c$

$x^2 + bx + (\frac 1 2 b)^2 = (\frac 1 2 b)^2 - c$

$x^2 + bx + c = 0$

Rumus abc

Metode rumus abc ini bisa dipakai kalau pemfaktoran & melengkapkan kuadrat tepat tak mampu dilaksanakan. Nilai dr akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ ditemukan dr rumus abc berikut:

Perbandingan kecepatan sepeda motor dan kereta api adalah 3 : 5.

$x_ 1,2 = \frac - b \pm \sqrt b^2 - 4ac 2a$

Sehingga, akar-akarnya ialah

$x_1 = \frac - b + \sqrt b^2 - 4ac 2a$

$x_2 = \frac -b - \sqrt b^2 - 4ac 2a$

Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ mampu ditentukan dgn mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dlm rumus abc selaku :

$D = b^2 - 4ac$

Sehingga rumus abc menjadi:

$x_ 1,2 = \frac -b \pm sqrt D 2a$

Tanda akar diskriminan $( \sqrt D )$ dlm rumus abc menentukan jenis dr akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tak real. Sehingga jenis akar-akar PK $ax^2 + bx + c = 0$ yakni:

Jika D < 0 maka akar-akarnya tak real.

Jika D > 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) & berlainan ( $x_1 \neq x_2$ ).

Jika D = 0 maka akar-akarnya real ( $x_1, x_2 \in R$ ) & sama atau kembar ( $x_1 = x_2$ ).

Jumlah & Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan & perkalian akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c$ mampu dikerjakan tanpa harus mengetahui nilai dr akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dgn :

$x_1 + x_2 = \frac -b + \sqrt b^2 - 4ac 2a + \frac -b - \sqrt b^2 - 4ac 2a$

$= \frac -b + \sqrt b^2 - 4ac - b - \sqrt b^2 - 4ac 2a$

$= - \frac 2b 2a = - \frac b a$

Sedangkan hasil kali akar-akar mampu diperoleh dengan:

$x_1 \cdot x_2 = \frac -b + \sqrt b^2 - 4ac 2a \cdot \frac -b -\sqrt b^2 - 4ac 2a$

$= \frac (-b)^2 - (b^2 - 4ac) (2a)^2$

$\frac 4ac 4a^2 = \frac c a$

Dari klasifikasi tersebut dapat diketahui bahwa :

Penjumlahan akar-akar $x_1 + x_2 = -\frac b a$ .

Perkailan akar-akar $x_1 \cdot x_2 = \frac c a$ .

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yg bisa dirubah kedalam ( $x_1 + x_2$ ) & ( $x_1 \cdot x_2$ ). Tujuan dr pergantian bentuk ini untuk memudahkan dlm peyelesaian persoalan. Perubahan ini mampu dijalankan dgn menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini selaku pola bentuk-bentuk perubahan:

$x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 (x_1 \cdot x_2)(x_1 + x_2)$

$\frac 1 x_1 + \frac 1 x_2 = \frac (x_1 + x_2) (x_1 \cdot x_2)$

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Suatu persamaan kuadrat gres dapat dibuat bila dikenali nilai dr akar-akarnya. Hal tersebut dapat dilaksanakan dgn memasukan atau mensubstitusi nilai dr akar-akar yg sudah diketahui kedalam persamaan

$(x - x_1)(x - x_2)$

atau

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 . x_2)$

Suatu persamaan kuadrat gres pula dapat dibentuk walaupun tak ada dikenali nilai dr akar-akarnya. Dengan syarat, akar-akar tersebut memiliki hubungan atau kekerabatan dgn akar-akar dr PK yg lain.