Persamaan Lingkaran -

Persamaan Lingkaran – Pengantar

Lingkaran atau bisa disebut selaku sisi-tak hingga dlm bidang geometri. Dalam bidang kartesius, bulat yakni titik-titik yg berjumlah tak sampai yg memiliki jarak yg sama dgn sentra bulat. Jarak dr setiap titik ke titik sentra biasa disebut sebagai jari-jari r.

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Induksi Matematika

Peluang

Daftar Isi

Persamaan Lingkaran

Terdapat beberapa macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yg dibentuk dr titik sentra & jari-jari serta suatu persamaan yg mampu dicari titik sentra & jari-jarinya.

Persamaan umum bulat

Dalam bundar, terdapat persamaan biasa , yaitu:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ ialah bentuk biasa persamaannya.

Dari persamaan diatas, mampu ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

Titik sentra bulat

$P(a, b) = P(- \frac 1 2 A, - \frac 1 2 B)$

Dan untuk jari-jari lingkaran yakni

$r= \sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C = \sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$

Persamaan lingkaran dgn sentra P(a,b) & jari-jari r

Dari suatu bundar kalau diketahui titik pusat & jari-jarinya, mampu diperoleh persamaan lingkarannya, yakni dgn rumus:

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

kalau dikenali titik pusat & jari-jari bulat dimana (a,b) yaitu titik pusat & r adalah jari-jari dr bundar tersebut.

Dari persamaan yg diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada bulat, di dlm lingkaran atau diluar bundar. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dgn subtitusi titik pada variabel x & y kemudian dibandingkan risikonya dgn kuadrat dr jari-jari.

koordinat lingkaran

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Diketahui matriks A = (3 3 2 4), B = (–1 2 4 1) nilai determinan matriks 3A – 2B

Pada lingkaran: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2=r^2$

Di dlm bundar: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2<r^2$

Di luar bulat: $\rightarrow (x_1-a)^2+(y_2-b)^2>r^2″ class=”latex” /> <h3><span class=$ Persamaan lingkaran dgn dengan pusat O(0,0) & jari-jari r

Persamaan bundar bila titik sentra di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yakni:

$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2 \rightarrow x^2+y^2=r^2$

Dari persamaan diatas, pula dapat ditentukan letak suatu titik kepada lingkaran tersebut.

gambar persamaan lingkaran

Suatu titik $M (x_1, y_1)$ terletak:

Pada bulat: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 = r^2$

Di dlm bundar: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 < r^2$

Diluar bulat: $\rightarrow x_1^2 + y_1^2 > r^2″ class=”latex” /> <h2><span class=$ Perpotongan Garis & Lingkaran

Suatu lingkaran dgn persamaan lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ mampu diputuskan apakah suatu garis h dgn persamaan $y=mx+n$ tersebut tak menyentuh, menyinggung, atau memotong lingkaran dgn memakai prinsip diskriminan.

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$ … (persamaan 1)

$y=mx+n$ … (persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

$x^2+(mx+n)^2+Ax+B(mx+n)+C=0$

Dari persamaan kuadrat diatas, dgn membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tak menyinggung/memangkas, menyinggung atau memangkas lingkaran.

Garis h tak memotong/menyinggung lingkaran, maka $D<0$

Garis h menyinggung bundar, maka $D=0$

Garis h memangkas bundar, maka $D>0″ class=”latex” /> <img decoding=$

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lewat sebuah titik pada bundar

Garis singgung pada suatu lingkaran sempurna bertemu dgn satu titik yg terletak pada bundar. Dari titik pertemuan dr garis singgung & lingkaran, mampu diputuskan persamaan garis dr garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yg lewat titik $P (x_1, y_1)$ , dapat ditentukan menurut rumus persamaan bundar yg dijelaskan pada bagian sebelumnya, yakni

Bentuk $x^2+y^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1=r^2$

Bentuk $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Persamaan garis singgungnya: $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Bentuk $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Persamaan garis singgungnya: $xx_1+yy_1+ \frac A 2 (x+x_1)+ \frac B 2 (y+y_1)+C=0$

Contoh Soal:

Persamaan garis singgung yg melalui titik (-1,1) pada lingkaran $x^2+y^2--4x+6y-12=0$ yakni …

Jawab:

Dari soal diatas diketahui persamaan bulat nya ialah $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ dgn A = -4, B = 6 & C = -12 & $x_1=-1, y_1=1$ .

Daerah yang diarsir pada gambar berikut memenuhi

PGS ialah

$xx_1+yy_1+ \frac A 2 (x+x_1)+ \frac B 2 (y+y_1)+C=0$
$x(-1)+y(1) - \frac 4 2 (x-1)+ \frac 6 2 (y+1)-12=0$
$-3x+4y-7=0$

Kaprikornus persamaan garis singgungnya yaitu $4y=3x+7$

Persamaan garis singgung dgn gradien

Jika suatu garis dgn gradien $m$ yg menyinggung suatu lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya

Jika lingkaran $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(y-b)=m(x-a) \pm r \sqrt m^2+1$

Jika bundar $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ , maka persamaan garis singgungnya dgn mensubtitusi r dengan

$r= \sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C = \sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C$ , sehingga diperoleh:

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt (\frac 1 2 a)^2+(\frac 1 2 b)^2- C ) \sqrt m^2+1$

atau

$(y-b)=m(x-a) \pm (\sqrt \frac 1 4 A^2 + \frac 1 4 B^2 - C ) \sqrt m^2+1$

Persamaan garis singgung dgn titik yg berada diluar bundar

Dari suatu titik yg berada diluar bundar, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

$y-y_1=m(x-x_1)$

Akan namun dr rumus diatas, nilai gradien garis belum dikenali. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan bulat. Karena garis merupakan garis singgung, maka dr persamaan hasil subtitusi nilai D=0, & akan diperoleh nilai m.

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.

Alumni Teknik Elektro UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:

Program Linear

Logaritma

Trigonometri