Persamaan Trigonometri -

Persamaan trigonometri yakni persamaan yg mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dlm bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dgn cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk kawasan asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dlm bentuk derajat yg berada pada rentang $0^ \circ$ hingga dgn $360^ \circ$ atau dlm bentuk radian yg berada pada rentang 0 hingga dgn 2π.

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Rumus Mean Median Modus

Rumus Limit Fungsi

Rumus untuk menuntaskan persamaan trigonometri selaku berikut:

Daftar Isi

1. Sinus

Jika $\sin px = \sin a$ dgn p & a dalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x_1 = \frac a p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

$x_2 = \frac (180^ \circ - a) p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

Sebagai acuan:

$\sin 3x^ \circ = 0, 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$\sin 3x^ \circ = \sin 180^ \circ$

$x_1 = \frac 180 3 + \frac k \cdot 360^ \circ 3 = 60 + (k \times 120), k \epsilon B$

$x_2 = \frac (180^ \circ - a) p + \frac k \cdot 360^ \circ p = \frac (180^ \circ - 180) 3 + \frac k \cdot 360^ \circ 3 = k \times 120, k \epsilon B$

$x_2 k \times 120, k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian lazimnya yaitu:

$60 + (k \times 120) \cup (k \times 120), k \epsilon B$

k = 0 $\rightarrow x_1$ = 60 atau $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1$ = 180 atau $\rightarrow x_2$ = 120

k = 2 $\rightarrow x_1$ = 300 atau $\rightarrow x_2$ = 240

k = 3 $\rightarrow x_2$ = 360

Kaprikornus, himpunan penyelesaian lazimnya adalah:

(0, 60, 120, 180, 240, 300, 360)

Dalam bentuk radian:

$x_1 = \frac a p + \frac k(2\pi) p$

$x_2 = \frac (\pi - a) p + \frac k(2\pi) p$

Sebagai pola:

$\sin 3x$ = 0

Maka:

$\sin 3x = \sin \pi$

$x_1 = \frac \pi 3 + k \times \frac 2\pi 3 , k \epsilon B$

$x_2 = \frac (\pi - \pi) 3 + k \times \frac 2\pi 3 = k \times \frac 2\pi 3 ,k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian lazimnya yaitu:

$\frac \pi 3 + k \times \frac 2\pi 3 \cup k\times \frac 2\pi 3 , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 3$ atau x_2 $x_2$ = 0

k = 1 $\rightarrow x_1 = \frac \pi 3 + \frac 2\pi 3 = \pi$ atau $x_2 = \frac 2\pi 3$

k = 2 $\rightarrow x_1 = \frac \pi 3 + \frac 4\pi 3 = \frac 5\pi 3$ atau $x_2 = \frac \pi 3$

k = 3 $\rightarrow x_2 = 2\pi$

jadi, himpunan penyelesaian lazimnya ialah:

$(0,\frac \pi 3 , \pi , \frac 4\pi 3 , \frac 5\pi 3 , 2\pi)$

2. Cosinus

Jika $\cos px = \cos a$ dgn p & α adalah konstanta, maka:

Dalam bentuk derajat:

$x = \pm \frac a p + \frac k \cdot 360^ \circ p$

Sebagai teladan:

$2 cos(2x - 60^ \circ ) - \sqrt 3 = 0, 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$2 cos(2x - 60^ \circ ) - \sqrt 3 = 0$

$\cos(2x - 60^ \circ ) = \frac 1 2 \sqrt 3$

$\cos(2x - 60^ \circ ) = \cos 30^ \circ$

Sehingga:

$2x - 60^ \circ \pm 30^ \circ + k \times 360^ \circ$

$2x = 60^ \circ \pm 30^ \circ + k \times 360^ \circ$

Diperoleh:

$x_1 = 45^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$x_2 = 15^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

Menentukan himpunan penyelesaian umumnya yakni:

$45^ \circ + k \times 180^ \circ \cup 15^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = 45^ \circ$ atau $x_2 = 15^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x_1 = 45^ \circ + 180^ \circ = 180^ \circ = 225^ \circ$ atau $x_2 = 15^ \circ + 180^ \circ = 115^ \circ$

Jadi, himpunan solusi umumnya yakni:

$(156 \circ , 45^ \circ , 115^ \circ , 225^ \circ )$

Dalam bentuk radian:

$x = \pm \frac a p + \frac k \cdot (2\pi) p$

Sebagai pola:

$2 \cos(2x - \frac \pi 3 ) - \sqrt 3 = 0,0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$2\cos(2x - \frac \pi 3 ) - \sqrt 3 = 0$

$\cos (2x - \frac \pi 3 ) = \frac 1 2 \sqrt 3$

$\cos (2x - \frac \pi 3 - \cos\frac \pi 6 )$

Sehingga:

$2x - \frac \pi 3 = \pm \frac \pi 6 + k \times 2\pi$

$2x = \frac \pi 3 \pm \frac \pi 6 + k \times 2\pi$

Diperoleh:

$x_1 = \frac \pi 4 + k \times \pi ,k \epsilon B$

$x_1 = \frac \pi 12 + k \times \pi ,k \epsilon B$

Menentukan himpunan solusi biasanya yaitu:

$\frac \pi 4 + k \times \pi \cup \frac \pi 12 + k \times \pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 4$ atau x_2= $x_2 = \frac \pi 4$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac \pi 4 + \pi = \frac 5 4 \pi$ atau $x_2 = \frac \pi 12 + \pi = \frac 13 12 \pi$

jadi, himpunan solusi lazimnya yaitu:

$(\frac \pi 12 , \frac \pi 4 ,\frac 13\pi 12 ,\frac 5\pi 4 )$

Yuk belajar bahan ini juga:

Fraksi Minyak Bumi

Sistem Pernapasan Manusia

Teks Eksplanasi

3. Tangen

Jika⁡ $\tan px = \tan a$ dgn p & a adalah konstanta, maka

Dalam bentuk derajat:

$x = \frac a p + \frac k \cdot 180^ \circ p$

Sebagai contoh:

$\tan(x - 45^ \circ ) = \cot 90^ \circ , 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Maka:

$\tan (x - 45^ \circ ) = \frac 1 3 \sqrt 3$

$\tan (x - 45^ \circ = \tan 30^ \circ )$

Sehingga:

$x - 45^ \circ = 30^ \circ + k \times 180^ \circ$

$x = 45^ \circ + 30^ \circ + k \times 180^ \circ$

$x = 75^ \circ + k \times 180^ \circ$

Menentukan himpunan solusi lazimnya yaitu:

$x = 75^ \circ + k \times 180^ \circ , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = 75^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x = 75^ \circ + 180^ \circ = 225^ \circ$

Jadi, himpunan penyelesaian biasanya yakni:

$(75^ \circ , 225^ circ )$

Dalam bentuk radian:

$x = \frac a p + \frac k \cdot (\pi) p$

Sebagai teladan:

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \cot\frac \pi 2 , 0 \le x \le 2\pi$

Maka:

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \frac 1 3 \sqrt 3$

$\tan (x - \frac \pi 4 ) = \tan\frac \pi 6$

Sehingga:

$x - \frac \pi 4 = \frac \pi 6 + k \times \pi$

$x = \frac \pi 4 + \frac \pi 6 + k \times \pi$

$x = \frac 5\pi 12 + k \times \pi$

Menentukan himpunan solusi umumnya yakni:

$x = \frac 5\pi 12 + k\pi , k \epsilon B$

$k = 0 \rightarrow x = \frac 5\pi 12$

$k = 1 \rightarrow x = \frac 5\pi 12 + \pi = \frac 17\pi 12$

Jadi, himpunan penyelesaian biasanya yaitu:

$(\frac 5\pi 12 , \frac 17\pi 12$

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat menampung jumlah atau selisih dr sinus atau kosinus. Untuk penyelesaiaannya mampu diubah menjadi bentuk persamaan yg menampung perkalian sinus atau kosinus. Begitu pula jika dihadapkan dgn perkara sebaliknya.

Persamaan trigonometri untuk beberapa perkara mampu dirubah menjadi persamaan kuadrat yg memuat sinus, kosinus, atau tangen. Penyelesaiannya didapat dgn metode faktorisasi.

Ada persamaan trigonometri dlm bentuk $a \cos x + b \sin x = c$ yg mampu teratasi dgn cara berikut:

$a \cos x + b \sin x = c$ (kedua ruas dibagi a)

$\cos x + \frac b a \sin x = \frac c a$

Misalkan $\tan a = \frac b a$ , maka:

$\cos x + \tan a \sin x = \frac c a$ (kedua ruas dikali $\cos a$ )

$\cos(x - a) = \cos a(\frac c a )$

Karena $\tan a = \frac b a$ , maka

$\cos (a) = \frac a \sqrt a^2+b^2$

Sehingga,

$\cos(x - a) = (\frac c a )(\frac a \sqrt a^2+b^2 ) = \frac c \sqrt a^2+ b^2$

Yuk belajar bahan ini juga:

Conjunction

Kesetimbangan Benda Tegar

Termokimia

Contoh Soal Persamaan Trigonometri & Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan:

$\sin 3x = \cos 2x ; 0^ \circ \le x \le 360^ \circ$

Pembahasaan:

$\sin 3x = \cos 2x$

$\sin 3x = sin(90^ \circ - 2x)$

Sehingga,

$3x = (90^ \circ - 2x) + (k \cdot 360^ \circ )$

$5x = 90^ \circ + (k \cdot 360^ \circ )$ (kedua ruas dibagi 5)

$x_1 = 18^ \circ + (k \cdot 72^ \circ )$

Atau,

$3x = (180 - (90^ \circ - 2x)) + (k \cdot 360^ \circ )$

$3x = (90^ \circ + 2x) + (k \cdot 360^ \circ )$

$x_2 = 90^ \circ + (k \cdot 360^ \circ )$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x = 18^ \circ$ atau $x = 90^ \circ$

$k = 1 \rightarrow x = 90^ \circ$

$K = 2 \rightarrow x = 162^ \circ$

$k = 3 \rightarrow x = 234^ \circ$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(18^ \circ , 90^ \circ , 162^ \circ , 234^ \circ )$

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan:

$\sin (x+ \frac \pi 4 )\cos x = \frac 1 4 \sqrt 2 ; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan

$\sin (x+\frac \pi 4 )$

Dibuat kedalam bentuk

$2 \sin a \cos \beta = \sin (a+\beta) + \sin (a-\beta)$

Dengan

$(2)sin(x+\frac \pi 4 ) \cos x = (2)(\frac 1 4 \sqrt 2 ) = \frac 1 2 \sqrt 2$

Menjadikan

$\sin((x+\frac \pi 4 ) + x) + \sin ((x + \frac \pi 4 ) - x) = \frac 1 2 \sqrt 2$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) + \sin (\frac \pi 4 ) = \frac 1 2 \sqrt 2$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) + (\frac 1 2 \sqrt 2 )$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) = 0$

$\sin (2x + \frac \pi 4 ) = \sin 0$

Sehingga

$(2x + \frac \pi 4 ) = 0 + k \cdot (2\pi)$

$2x = -\frac \pi 4 + k \cdot (2\pi)$

$x_1 = -\frac \pi 8 + k \cdot (\pi)$

atau

$(2x + \frac \pi 4 ) = (\pi - 0) + k \cdot (2\pi)$

$2x = (\pi - \frac \pi 4 ) + k \cdot (2\pi)$

$x_2 = (\frac 3\pi 8 ) + k \cdot (\pi)$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_2 = \frac 3\pi 8$

$k = 1\rightarrow x_1 = \frac 7\pi 8$

$\rightarrow x_2 = \frac 11\pi 8$

$k = 2 \rightarrow x_1 = \frac 15\pi 8$

Himpunan penyelesaiannya yakni:

$(\frac 3\pi 8 , \frac 7\pi 8 , \frac 11\pi 8 , \frac 15\pi 8 )$

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dr persamaan trigonometri:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0; 0 \le x \le 2\pi$

Pembahasan:

$\cos 4x + 2\cos^2 2x + 14\sin 2x - 9 = 0;$

$(1 -2\sin^2 2x) + 2(1 - \sin^2 2x) + 14\sin 2x - 9 = 0$

$4\sin^2 2x - 14\sin 2x + 6 = 0$

$2\sin ^2 - 7\sin 2x + 3 = 0$

$(2\sin 2x - 1)(\sin 2x - 3) = 0$

Didapat,

Akar 1:

$2\sin 2x - 1 = 0$

$\sin 2x = \frac 1 2$ (bisa)

Akar 2:

$\sin 2x - 3 = 0$

$\sin 2x = 3$ (tidak bisa)

Sehingga,

$\sin 2x = \frac 1 2 = \sin(\frac \pi 6 )$

$2x = \frac \pi 6 + k \cdot 2\pi$

$x_1 = \frac \pi 12 + k \cdot \pi$

Atau,

$2x = (\pi - \frac \pi 6 ) + k \cdot 2\pi$

$x_2 = \frac 5\pi 12 +k \cdot \pi$

Himpunannya,

$k = 0 \rightarrow x_1 = \frac \pi 12$

$\rightarrow = \frac 5\pi 12$

$k = 1 \rightarrow x_1 = \frac 13\pi 12$

$\rightarrow x_2 = \frac 17\pi 12$

Himpunan penyelesaiannya adalah:

$(\frac \pi 12 ,\frac 5\pi 12 ,\frac 13\pi 12 , \frac 17\pi 12 )$

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.

Alumni Teknik Sipil FT UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:

Sudut spesial Trigonometri

Perkalian, Deteriman, & Invers Matriks

Logaritma

Integral Tentu & Penggunaan Integral