Rumus Trigonometri (kelas 11)

Rumus Trigonometri – Pengantar

Dalam trigonometri, Sinus. Cosinus. Tangent, Cosecan, Secan, & Cotangent bisa digunakan bersama-sama baik dgn penjumlahan atau pengurangan maupun perkalian. Rumus-rumus penjumlahan, pengurangan, atau perkalian dlm trigonometri mampu diturunkan dr rumus jumlah dua sudut atau selisih dua sudut.

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Integral Substitusi & Integral Parsial

Fungsi Kuadrat

Rumus Trigonometri untuk Jumlah Dua Sudut & Selisih Sudut

\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Rumus Trigonometri untuk Sudut Rangkap

Pada rumus sudut rangkap, merupakan adaptasi dr penjumlahan dua sudut dgn \alpha = \beta, sehingga rumusnya menjadi sebagi berikut:

\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta.

Subtitusikan \alpha = \beta pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

\sin (\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha.

Karena \sin \alpha \cos \alpha = \cos \alpha \sin \alpha, maka didapat:

Sifat I: \sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha.

\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta.

Subtitusikan \alpha = \beta pada persamaan diatas, sehingga menjadi:

\cos (\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha.

Karena \cos \alpha \cos \alpha = \cos^2 \alpha & \sin \alpha \sin \alpha = \sin^2 \alpha, maka didapat:

Sifat II: \cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha.

Karena hasil pada cos sudut rangkap (II) merupakan selisih kuadrat, maka bentuk ini mampu disubtitusi dgn identitas trigonometri:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha.

Subtitusikan \sin^2 \alpha pada persamaan rumus sudut rangkap dr cos (II) menjadi:

\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha).

Buka kurung pada persamaan menjadi:

\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha - 1 + \cos^2 \alpha).

Jumlah kan kuadrat dr kedua cos akan didapat:

Sifat III: \cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1.

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha.

Subtitusikan \cos^2 \alpha pada persamaan rumus sudut rangkap dr cos (II) menjadi:

\cos (2 \alpha) = (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha.

Buka kurung pada persamaan menjadi:

\cos (2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha.

Jumlah kan kuadrat dr kedua cos didapat:

Sifat IV: \cos (2 \alpha) = (1 - 2 \sin^2 \alpha).

Rumus Trigonometri untuk Perkalian Sinus & Cosinus

Rumus perkalian dr Sinus & Cosinus diperoleh dr menjumlahkan & meminimalkan rumus dr sudut rangkap.

Rumus Pertama:

Jumlahkan \sin (\alpha + \beta) dgn \sin (\alpha - \beta):

rumus trigonometri perkalian

Dari perkiraan hasil diatas diperoleh:

  Soal Pilihan Ganda Keberagaman Budaya Bangsaku Tema 1 Subtema 1 Kelas 4 SD

\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac 1  2  \  \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \ .

Rumus Kedua:

Kurangkan \sin (\alpha + \beta) dgn \sin (\alpha - \beta):

perkalian trigonometri

Dari perhitungan hasil diatas, diperoleh:

\cos \alpha \cdot \sin \beta = \frac 1  2  \  \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \ .

Rumus Ketiga:

Jumlahkan \cos (\alpha + \beta) dgn \cos (\alpha - \beta):

cos kali cos

Dari perhitungan hasil diatas diperoleh:

\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac 1  2 \  \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \ .

Rumus Keempat:

Kurangkan dgn \cos (\alpha + \beta) dgn \cos (\alpha - \beta):

sin x sin

Dari perkiraan hasil diatas diperoleh:

\sin \alpha \cdot \sin \beta = - \frac 1  2  \  \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \ .

Rumus Trigonometri untuk Penjumlahan & Pengurangan Sinus & Cosinus

Rumus trigonometri untuk penjumlahan & pengurangan merupakan penyesuaian dr bentuk perkalian Sinus & Cosinus.

Pada penyesuaian ini, kita cukup mensubtitusi \alpha menjadi \frac 1  2 (\alpha + \beta) & \beta menjadi \frac 1  2 (\alpha - \beta), sehingga diperoleh:

\sin \alpha + \sin \beta = 2 \cdot \sin \frac 1  2  (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac 1  2  (\alpha - \beta)

\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cdot \cos \frac 1  2  (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac 1  2  (\alpha - \beta)

\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cdot \cos \frac 1  2  (\alpha + \beta) \cdot \cos \frac 1  2  (\alpha - \beta)

\cos \alpha - \cos \beta = -2 \cdot \sin \frac 1  2  (\alpha + \beta) \cdot \sin \frac 1  2  (\alpha - \beta).

Rumus Trigonometri Pada Segitiga

Aturan Sinus

Setiap segitiga, senantiasa mempunyai tiga sudut & setiap sudut selalu menghadap pada satu sisi. Dari masing-masing sudut & sisi yg berhadapan, terdapat perbandingan yg selalu sebanding, yakni:

\frac A  \sin A =\frac B  \sin B =\frac C  \sin C .

Aturan Sinus ini dapat digunakan dlm perkiraan jikalau paling sedikit dimengerti 2 sisi 1 sudut atau 1 sisi 2 sudut.

Aturan Cosinus

Rumus perbandingan sudut dgn sisi pada segitiga, selain memakai Sinu, pula terdapat rumus Cosinus, yakni:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A.

b^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos B.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.

Rumus diatas dipakai untuk menentukan panjang sisi jikalau dimengerti 2 sisi & 1 sudut yg diapit kedua sisi tersebut.

Sedangkan untuk menentukan besar sudut bila dimengerti 3 sisi segitiga, mampu menggunakan hukum ini juga, dgn mengganti bentuk di atas, contohnya:

\cos A = \frac b^2 + c^2 - a^2  2 \cdot b \cdot c .

Contoh Soal

Sederhanakah bentuk persamaan berikut \frac 1-(\sin x - \cos x)^2  1 - \cos 2x !

Jawab:

Penjabaran dr bentuk (\sin x - \cos x)^2 adalah \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x, dimana \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sesuai identitas trigonometri, sehingga:

\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x.

Untuk bentuk \cos 2x, dgn memakai rumus sudut rangkap, diperoleh bentuk \cos^2 x - \sin^2 x, 2 \cos^2 x - 1, atau 1 - 2 \sin^2 x. Untuk solusi persamaan ini, kita gunakan bentuk 1 - 2 \sin^2 x.

Sehingga persamaan menjadi:

\frac 1 - (1 - 2 \sin x \cos x)  1 - (1 - 2 \sin^2 x) .

Ketika tanda kurung dihilangkan, menjadi:

\frac 1 - 1 + 2 \sin x \cos x  1 - 1 + 2 \sin^2 x  = \frac 2 \sin x \cos x  2 \sin^2 x .

Bagi pembilang & penyebut dgn 2 \sin x, & diperoleh bentuk:

\frac \cos x  \sin x atau \cot x.

Judul Artikel: Rumus Trigonometri kelas 11

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q., S.T.

Alumni Teknik Elektro UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:

  1. Pengertian Integral
  2. Determinan & Invers Matriks
  3. Transformasi Geometri