Sistem persamaan linear yaitu persamaan-persamaan linear yg dikorelasikan untuk membentuk sebuah sistem. Sistem persamaannya bisa terdiri dr satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membicarakan sistem persamaan linear dgn dua & tiga variabel.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua variabel yakni tata cara persamaan linear yg terdiri dr dua persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai dua variabel. Contoh SPLDV dgn variabel &
:
dimana , &
adalah bilangan-bilangan real.
Penyelesaian SPLDV
Penyelesaian SP:DV bermaksud untuk memilih nilai yg memenuhi kedua persamaan yg ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yakni:
Metode grafik
Pada metode grafik ini, langkah-langkah yg dilaksanakan pertama yakni menentukan grafik garis dr masing-masing persamaan lalu menentukan titik potong dr kedua garis. Titik potong dr kedua garis tersebut ialah penyelesaian dr SPLDV.
Contoh Soal:
Tentukah solusi dr SPLDV berikut:
Jawab:
Langkah pertama pastikan garis dr masing-masing persamaan.
Setelah diperoleh grafik dr kedua persamaan, sekarang memilih titik potong dr kedua garis & menentukan koordinat dr titik potong tesebut.
Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dgn koordinat , sehingga solusi dr SPLDV yaitu
.
Untuk membuktikan penyelesaian dr SPLDV, solusi tersebut kita subtitusikan ke persamaan dgn &
.
Pada metode grafik ini, terdapat berbagai jenis himpunan solusi berdasarkan grafik persamaan, yakni:
-
- Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis yaitu penyelesaian dr SPLDV & mempunyai satu solusi.
- Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tak memiliki penyelesaian
- Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan solusi.
Metode eliminasi
Pada metode eliminasi ini, memilih solusi dr variabel dgn cara mengeliminasi variabel
, & untuk memilih penyelesaian variabel
dgn cara mengeliminasi variabel
.
Contoh Soal:
Tentukah solusi dr tata cara persamaan linear dua variabel berikut:
Jawab:
Pertama memilih solusi dr variabel .
Mengeliminasi variabel dapat dijalankan dgn meminimalkan persamaan I dgn persamaan II.
Diperoleh persamaan tamat , bagi kedua ruas dgn -2, diperoleh solusi
.
Kedua menentukan solusi dr variabel
Mengeliminasi variabel dapat dijalankan dgn menjumlahkan persamaan I dgn persamaan II.
Diperoleh persamaan simpulan , bagi kedua ruas dgn 2, diperoleh solusi
Sehingga himpunan solusi dr SPLDV tersebut adalah .
Metode substitusi
Pada metode substitusi, langkah pertama yg dikerjakan adalah mengganti salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi, yakni sebagai fungsi dr
atau
sebagai fungsi dr
. Kemudian subtitusikan
atau
pada persamaan yg lain.
Contoh Soal:
Tentukah solusi dr SPLDV berikut:
Jawab:
Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi dgn memindahkan variabel
ke ruas kanan menjadi
.
Kemudian persamaan fungsi disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi
. Diperoleh persamaan
& kurangi masing-masing ruas dgn 1, menjadi
. Kemudian bagi kedua ruas dgn 2 menjadi
. Hasil variabel
disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi
, jadi
atau
.
Sehingga himpunan penyelesaian tata cara persamaan linear dua variabel nya yakni .
Metode eliminasi-subtitusi
Metode ini adalah adonan dr metode eliminasi & subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian solusi dr variabel yg diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.
Coba jalankan soal di atas dgn menggunakan metode eliminasi-substitusi.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem persamaan linear tiga variabel yaitu metode persamaan yg terdiri dr tiga persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai tiga variabel. Contoh SPLTV dgn variabel &
:
dimana &
ialah bilangan-bilangan real.
Pada SPLTV terdapat 2 cara solusi, yakni:
- Metode Subtitusi
Langkah yg dilaksanakan pada metode ini yakni:
- Ubah salah satu persamaan yg ada pada sistem & nyatakan
sebagai fungsi dr
&
, atau
selaku fungsi dr
&
, atau
selaku fungsi dr
&
..
- Subtitusikan fungsi
atau
atau
dr langkah pertama pada dua persamaan yg lain, sehingga diperoleh SPLDV.
- Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn metode yg dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.
Contoh Soal:
Tentukan solusi dr metode persamaan linear tiga variabel berikut:
.
Jawab:
Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dr , yaitu:
. Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) & (III), menjadi
Persamaan (II):
Selesaikan, didapat:
Persamaan (III):
Selesaikan, didapat: atau
.
Persamaan (IV) & (V) membentuk SPLDV
Dari persamaan (V), , kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:
Kemudian subtitusikan pada persamaan
diperoleh
atau
.
Subtitusikan &
pada persamaan
, menjadi
, diperoleh
.
Sehingga himpunan solusi ialah
- Metode Eliminasi
Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yakni:
- Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV
- Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn langkah mirip pada solusi SPLDV yg telah dibahas
- Subtitusikan variabel yg telah diperoleh pada persamaan yg ada.
Sekarang coba ananda selesaikan acuan soal metode persamaan linear tiga variabel di atas dgn menggunakan metode eliminasi!
Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.
Alumni Teknik Elektro FT UI
Materi Sosiologiku.com yang lain: