Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear yaitu persamaan-persamaan linear yg dikorelasikan untuk membentuk sebuah sistem. Sistem persamaannya bisa terdiri dr satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membicarakan sistem persamaan linear dgn dua & tiga variabel.

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Vektor

Deret Aritmatika & Geometri

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel yakni tata cara persamaan linear yg terdiri dr dua persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai dua variabel. Contoh SPLDV dgn variabel x & y:

\begin cases ax+by=c \\ px-qy=r \end cases

dimana a, b, c, p, q, & r adalah bilangan-bilangan real.

Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian SP:DV bermaksud untuk memilih nilai yg memenuhi kedua persamaan yg ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yakni:

Metode grafik

Pada metode grafik ini, langkah-langkah yg dilaksanakan pertama yakni menentukan grafik garis dr masing-masing persamaan lalu menentukan titik potong dr kedua garis. Titik potong dr kedua garis tersebut ialah penyelesaian dr SPLDV.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr SPLDV berikut:

\begin cases -x+y=1 \\ x+y=5 \end cases

Jawab:

Langkah pertama pastikan garis dr masing-masing persamaan.

grafik sistem persamaan linear

Setelah diperoleh grafik dr kedua persamaan, sekarang memilih titik potong dr kedua garis & menentukan koordinat dr titik potong tesebut.

spldv spltv

Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dgn koordinat (2, 3), sehingga solusi dr SPLDV yaitu 2, 3.

Untuk membuktikan penyelesaian dr SPLDV, solusi tersebut kita subtitusikan ke persamaan dgn x=2 & y=3.

\begin cases  -(2) + (3) = 1 \\ 2+3=5 \end cases

Pada metode grafik ini, terdapat berbagai jenis himpunan solusi berdasarkan grafik persamaan, yakni:

    • Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis yaitu penyelesaian dr SPLDV & mempunyai satu solusi.
    • Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tak memiliki penyelesaian
    • Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan solusi.

Metode eliminasi

Pada metode eliminasi ini, memilih solusi dr variabel x dgn cara mengeliminasi variabel y, & untuk memilih penyelesaian variabel y dgn cara mengeliminasi variabel x.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr tata cara persamaan linear dua variabel berikut:

\begin cases  -x +y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases

Jawab:

Pertama memilih solusi dr variabel x.

Mengeliminasi variabel y dapat dijalankan dgn meminimalkan persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan tamat -2x = -4, bagi kedua ruas dgn -2, diperoleh solusi x=2.

Kedua menentukan solusi dr variabel x

Mengeliminasi variabel x dapat dijalankan dgn menjumlahkan persamaan I dgn persamaan II.

Diperoleh persamaan simpulan 2y=6, bagi kedua ruas dgn 2, diperoleh solusi y=3

Sehingga himpunan solusi dr SPLDV tersebut adalah (2, 3).

Metode substitusi

Pada metode substitusi, langkah pertama yg dikerjakan adalah mengganti salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi, yakni x sebagai fungsi dr y atau y sebagai fungsi dr x. Kemudian subtitusikan x atau y pada persamaan yg lain.

Contoh Soal:

Tentukah solusi dr SPLDV berikut:

\begin cases  -x+y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end cases

Jawab:

Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi -x+y=1 dgn memindahkan variabel x ke ruas kanan menjadi y=1+x.

Kemudian persamaan fungsi y disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi x+(1+x)=5. Diperoleh persamaan 2x+1=5 & kurangi masing-masing ruas dgn 1, menjadi 2x-4. Kemudian bagi kedua ruas dgn 2 menjadi x=2. Hasil variabel x disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi -(2)=y=1, jadi y=1+2 atau y=3.

Sehingga himpunan penyelesaian tata cara persamaan linear dua variabel nya yakni (2, 3).

Metode eliminasi-subtitusi

Metode ini adalah adonan dr metode eliminasi & subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian solusi dr variabel yg diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.

Coba jalankan soal di atas dgn menggunakan metode eliminasi-substitusi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel yaitu metode persamaan yg terdiri dr tiga persamaan dimana masing-masing persamaan mempunyai tiga variabel. Contoh SPLTV dgn variabel x, y & z:

\begin cases  a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=d_1 \\ a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2=d_2 \\ a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3=d_3 \end cases

dimana a, b, c & d ialah bilangan-bilangan real.

Pada SPLTV terdapat 2 cara solusi, yakni:

  1. Metode Subtitusi

Langkah yg dilaksanakan pada metode ini yakni:

  1. Ubah salah satu persamaan yg ada pada sistem & nyatakan x sebagai fungsi dr y & z, atau y selaku fungsi dr x & z, atau z selaku fungsi dr x & y..
  2. Subtitusikan fungsi x atau y atau z dr langkah pertama pada dua persamaan yg lain, sehingga diperoleh SPLDV.
  3. Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn metode yg dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.

Contoh Soal:

Tentukan solusi dr metode persamaan linear tiga variabel berikut:

\begin cases  x-2y+z=6 \cdots (I) \\ 3x+y-2z=4 \cdots (II) \\ 7x-6y-z=10 \cdots (III) \end cases .

Jawab:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dr x, yaitu: x-2y+z=6 \Rightarrow x=6+2y-z. Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) & (III), menjadi

Persamaan (II): 3(6+2y-z)+y-2z=4

Selesaikan, didapat: 7y-5z=-14 \cdots (IV)

Persamaan (III): 7(6+2y-z)-6y-z=10

Selesaikan, didapat: 8y-8z=-32 atau y-z=-4 \cdots (V).

Persamaan (IV) & (V) membentuk SPLDV

Dari persamaan (V), y-z=-4 \Leftrightarrow y=z-4, kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:

7(z-4)-5z=-14

7z-28-5z=-14

2z=14 \newline \newline z=7

Kemudian subtitusikan y=7 pada persamaan y=z-4 diperolehy=7-4 atau y=3.

Subtitusikan z=7 & z=3 pada persamaan x=6+2y-z, menjadi x=6+2(3)-7, diperoleh x=5.

Sehingga himpunan solusi ialah \ 3, 5, 7 \

  1. Metode Eliminasi

Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yakni:

  1. Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV
  2. Selesaikan SPLDV yg diperoleh dgn langkah mirip pada solusi SPLDV yg telah dibahas
  3. Subtitusikan variabel yg telah diperoleh pada persamaan yg ada.

Sekarang coba ananda selesaikan acuan soal metode persamaan linear tiga variabel di atas dgn menggunakan metode eliminasi!

Kontributor: Fikri Khoirur Rizal A.Q.

Alumni Teknik Elektro FT UI

Materi Sosiologiku.com yang lain:

  1. Induksi Matematika
  2. Persamaan Kuadrat
  3. Permutasi & Kombinasi

  Turunan Fungsi Trigonometri