Suku Banyak - Dari Sosiologi untuk Indonesia

Suku banyak atau polinominal merupakan pernyataan matematika yg melibatkan penjumlahan perkalian pangkat dlm satu atau lebih variable dgn koefisien. Bisa dikatakan polinominal merupakan bentuk aljabar dgn pangkat peubah bilangan bundar positif. Suku banyak dlm x berderajat n mempunyai bentuk umum:

$a_nx^n+a_ n-1 x^ n-1 +a_ n-2 x^ n-2 +\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0$

Dengan:

$a_n, a_ n-1 , a_ n-2 , a-2, a_1$ & $a_0$ yakni konstanta real

$a_n$ koefisien $x^n,a_ n-1$ koefisien $x^ n-1 ,a_1$ koefisien $x^1$ & seterusnya

$a_0$ disebut suku tetap

n bilangan cacah yg menyatakan derajat suku banyak

Lihat pula bahan Sosiologiku.com yang lain:

Bunga Tunggal & Bunga Majemuk

Rumus Turunan Aljabar

Daftar Isi

Nilai Suku Banyak

Suku banyak dlm x berderajat n dapat ditulis dlm bentuk fungsi sebagai berikut:

$f(x) = a_nx^n+a_ n-1 x^ n-1 +a_ n-2 x^ n-2 +\cdots +a_2x^2+a_1x^1+a_0$

Nilai $f(x)$ untuk $x = k$ yaitu $f(k)$ . Nilainya dapat diputuskan dgn dua taktik, yaitu:

Substitusi

Misalkan nilai $f(x) = x^5 - 2x^4 +3x^3 + 4x^2 - 10x^1 + 3$ untuk $x = -2$ dgn $k \epsilon R$ dapat diputuskan dgn mensubstitusi menjadi:

$f(-2) = (-2)^5 - 2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 10(-2)^1 + 3$

$f(-2) = -32 - 32 - 24 + 16 + 20 + 3$

$f(-2) = -49$

Skema (sketsa)

Misalkan $f(x) = x^4 - 4x^2 - 7x^1 - 60$ untuk $x = 5$ . Yang pertama dikerjakan yakni mengurutkan penulisan kiri ke kanan mulai dr pangkat tertinggi. Yang ditulis dlm denah yakni koefisien dr masing-masing derajat suku banyak.

bagan suku banyak

Tanda(“↓”) pertanda penjumlahan baris 1 & baris 2 yg menciptakan baris hasil. Tanda (“↗”) menerangkan perkalian baris hasil dgn $x = 5$ & menghasilkan baris 2. Dari cara ini diperoleh $f(5) = 500$ .

Jika $f(x)$ & $g(x)$ berturut-turut yakni suku banyak berderajat m & n, dgn $m > n” class=”latex” /> maka operasinya:</p> <p></p> <ol></p> <li><img decoding=$ mempunyai derajat maksimum m

$f(x) \times g(x)$ mempunyai derajat $(m+n)$

Pembagian Suku Banyak

Misalkan $f(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0$ dibagi dgn $(x - k)$ memberikan hasil bagi $H(x)$ & sisa pembagian S, diperoleh hubungan:

$f(x) = (x - k) \times H(x) + S$

Untuk mendapat hasil bagi $H(x)$ & sisa S dipakai 2 tata cara yakni:

Pembagian Bersusun

Pembagian dgn cara bersusun (biasa) selaku berikut:

pembagian bersusun suku banyak

Pembagian Sintetik (Horner)

Pembagian dgn cara ini memakai sketsa mirip berikut:

metode horner

Berdasarkan kedua solusi tersebut, didapat hasil pembagian $H(x) = a_2x + a_2k + a_1$ & sisa pembagian $S = a_2k^2 + a_1k + a_0$ .

Pembagian dgn $(ax + b)$

Misalkan $k = -\frac b a$ , sehingga bentuk $(x - k)$ menjadi $(x + \frac b a )$ . Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dgn $(x + \frac b a )$ memberikan hasil $H(x)$ & sisa S, maka terdapat hubungan:

$f(x) = (x + \frac b a ) \times H(x) + S = (ax + b) \times (\frac H(x) a ) + S$

Dengan demikian $f(x)$ dibagi dgn $(ax + b)$ menawarkan hasil bagi $\frac H(x) a$ & sisa S. Koefisien-koefisien $\frac H(x) a$ & S ditentukan dgn dua jenis cara pembagian sebelumnya dgn mengganti $k = -\frac a b$ .

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Larutan Penyangga

Struktur Proposal Kegiatan

Sel Hewan

Pembagian dgn $(ax^2 + bx + c)$

Pembagian suku banyak $f(x)$ oleh pembagi dlm bentuk $(ax^2 + bx + c)$ yg tak bisa difaktorkan, dapat dilaksanakan dgn tata cara pembagian bersusun. Sedangkan bila pembagi dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dikerjakan dgn metode horner. Bentuk lazim pembagian ini:

$f(x) = (ax^2 + bx + c) \times H(x) + S$

Misalkan $(ax^2 + bx + c)$ mampu difaktorkan menjadi $P_1$ & $P_2$ sehingga $(ax^2 + bx + c) = P_1.P2$ , maka:

$f(x) = P_1 \times P_2 \times H(x) + S$

Langkah-langkah penyelesaiannya yaitu:

Melakukan pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $P_1$ dgn hasil $H_0(x)$ & sisanya $S_1$ .

Kemudian melaksanakan pembagian $H_0(x)$ oleh $P_2$ dgn hasil $H(x)$ & sisanya $S_2$ .

Hasil bagi $f(x)$ oleh $(P_1 \times P_2)$ ialah $H(x)$ sedangkan sisanya $S(x) = P_1 \times S_2 + S_1$ . Ingat jika $P_1$ atau $P_2$ membentuk $(ax + b)$ , perlu untuk membagi $H(x)$ atau $H_0(x)$ dgn a untuk menerima hasil baginya.

Teorema Sisa

Misalkan $f(x)$ dibagi $P(x)$ dgn hasil bagi $H(x)$ & sisa $H(x$ , maka diperoleh hubungan:

$f(x) = P(x) \times H(x) + S(x)$

Jika $f(x)$ berderajat n & $P(x)$ pembagi berderajat m, dgn $m \le n$ , maka:

$H(x)$ berderajat $(n - m)$

$S(x)$ berderajat maksimum $(m - 1)$

Teorema untuk sisa yakni:

Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dgn $(x - k)$ maka sisanya $S = f(k)$ . Sisa $f(k)$ yakni nilai suku banyak untuk $x = k$ .

Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dgn $(ax + b)$ maka sisanya $S = f(-\frac b a )$ . Sisa $f(-\frac b a )$ ialah nilai untuk $x = -\frac b a$ .

Pembagi berderajat $m \ge 2$ yg dapat difaktorkan maka sisanya berderajat $(m - 1)$ .

Contoh, polinominal $8x^3 - 2x + 5$ dibagi dgn $x + 2$ memiliki sisa (S) berikut

$S = f(k) = 8x^3 - 2x + 5$

$S = f(-2) = 8(-2)^3 - 2(-2)^2 + 5$

$S = -67$

Teorema Faktor

Misalkan $f(x)$ yakni suatu suku banyak dgn $(x - k)$ yaitu faktornya bila & hanya kalau $f(x) = 0$ . Teorema aspek dapat dibaca selaku berikut:

Jika $(x - k)$ aspek dr $f(x)$ , maka $f(x) = 0$ .

Jika $f(k) = 0$ , maka $(x - k)$ merupakan aspek dr $f(x)$ .

Contoh, memilih faktor-aspek dr $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ . Konstanta $-6$ mempunyai faktor-aspek yg terdiri dr $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ . Dengan metode skema di atas atau sistem substitusi mampu diketahui nilai biar $f(x) = 0$ .

$f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0$ (aspek)

$f(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = -8$ (bukan faktor)

$f(2) = (2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 0$ (aspek)

$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = 0$ (aspek)

Sehingga faktor-faktornya yakni $(x+1)$ , $(x - 2)$ , & $(x + 3)$ .

Akar-akar Persamaan Suku Banyak

$(x - k)$ yakni faktor dr $f(x)$ jikalau & hanya bila k adalah akar dr persamaan $f(x) = 0$ .

Jika $a_nx^n + a_ n-1 x^ n-1 + \cdots + a_1x^1 + a_0$ dgn p≠0 ialah nilai nol dr f(x) maka p ialah pembagi $a_0$ .

Jika $f(x)$ memiliki akar $\frac p q$ (pecahan murni) dgn $q \ne 0$ , maka p yakni pembagi $a_0$ & q yakni pembagi $a_n$ .

Sifat-sifat akar suku banyak:

1. Persamaan kuadrat

Jika $x_1$ & $x_2$ adalah akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$ , maka

$x_1 + x_2 = -\frac b a$

$x_1.x_2 = \frac c a$

2. Persamaan pangkat tiga

Jika $x_1,x_2$ & $x_3$ adalah akar persamaan $ax^3 + bx^3 + cx + d = 0$ , maka:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac b a$

$x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac c a$

$x_1.x_2.x_3 = -\frac d a$

3. Persamaan pangkat empat

Jika $x_1,x_2,x_3$ & $x_4$ yakni akar persamaan $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ , maka:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac b a$

$x_1.x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 = \frac c a$

$x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_4 + x_1.x_3.x_4 + x_2.x_3.x_4 = -\frac d a$

$x_1.x_2.x_3.x_4 = \frac e a$

Lihat pula bahan Sosiologiku.com yang lain:

Hortatory Exposition

Pemanasan Global

Koloid

Contoh Soal Suku Banyak & Pembahasan

Contoh Soal 1: Teorema Sisa

Suku banyak $f(x) = 2x^3 + x^2 + 4x + 4 = 0$ & $g(x) = 2x^3 + x^2 + 2x + a = 0$ dibagi dgn $2x - 3$ masing-masing menghasilkan sisa yg sama. Tentukan nilai a.