Transformasi Geometri -

Transformasi geometri merupakan perubahan suatu bidang geometri yg mencakup posisi, besar & bentuknya sendiri. Jika hasil transformasi kongruen dgn bangunan yg ditranformasikan, maka disebut transformasi isometri. Transformasi isometri sendiri mempunyai dua jenisya itu transformasi isometri eksklusif & transformasi isometri berhadapan. Transformasi isometri pribadi tergolong translasi & rotasi, sedangkan transformasi isometri berhadapan tergolong refleksi.

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Pengertian, Rumus, & Operasi Vektor

Barisan & Deret: Aritmatik & Geometri

Daftar Isi

Translasi

Translasi merupakan perubahan atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sejauh & arah yg sama. Penulisan atau notasi translasi sama dgn notasi vektor. Jika titik B ditranslasi sampai titik $B^I$ maka mampu dinotasikan:

$\overrightarrow BB^I$

Sebagai contoh:

transformasi geometri bentuk translasi

Titik A, B, & C, masing-masing ditranslasikan ke titik A^I, B^I, & C^I dgn jarak & arah yg sama.

Suatu translasi dapat ditinjau terhadap sumbu x & sumbu y. Pergeseran sejauh a sejajar sumbu x (bergeser ke kanan a>0, ke kiri a<0) & pergeseran sejauh b sejajar sumbu y (bergeser ke atas b>0, ke bawah b<0) dinyatakan selaku :

$T =\left(\begin array r a\\ b\end array \right)$

Dengan a & b ialah bagian translasi. Bentuk-bentuk translasi sejauh $(\frac a b )$ sebagai berikut:

Posisi Awal

Posisi Akhir

Pergeseran

Translasi Titik

A(x, y)

A^I (x+a, y+b)
Dengan x & y yakni koordinat

Translasi Garis

mx+ny=c

m(x + a) + n(y + b) = c
Dengan m & n yakni koefisien & c konstanta

Translasi Kurva

y = mx² + kx + l

$(y+b) = m(x+a)^2 + k(x+a) + l$
Dengan m & k ialah koefisien & l konstanta

Translasi Lingkaran

x² + y² = c

$(x + a)^2 + (y + b)^2 = c$
Dengan c yaitu konstanta

Refleksi

Refleksi merupakan transformasi geometri berupa pergantian atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah suatu garis atau cermin dgn jarak sama dgn dua kali jarak titik kecermin. Ada dua sifat penting dlm refleksi:

Jarak titik kecermin sama dgn jarak bayangan titik ke cermin.

Geometri yg direfleksikan berhadapan dgn petanya.

Sebagai contoh:

refleksi

Bentuk refleksi terhadap banyak sekali garis sebagai berikut:

Titik		Garis/Kurva		Gambar Refleksi
Awal	Bayangan	Awal	Bayangan	Gambar Refleksi
Refleksi sumbu y
A(x, y)	A^I (-x, y)	y = f(x)	y^I = f(-x)
Refleksi sumbu y = h
A(x, y)	A^I (x, 2h – y)	y = f(x)	y^I = 2h – f(x)
Refleksi sumbu x = h
A(x, y)	A^I (2h – x, y)	y = f(x)	y^I = f(2h – x)
Refleksi sumbu y = x
A(x, y)	A^I (y, x)	y = f(x)	x = f(y)
Refleksi sumbu y = -x
A(x, y)	A^I (-y, -x)	y = f(x)	x = -f(-y)
Refleksi terhadap titik O (0,0)
A(x, y)	A^I (-x, -y)	y = f(x)	y^I = -f(-x)

Selain refleksi terhadap garis diatas, titik & kurva pula dapat direfleksikan kepada suatu garis y=mx+k. Berikut refleksinya:

refleksi terhadap garis & kurva

Dapat di gambarkan:

transformasi geometri pencerminan

Rotasi

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi geometri berupa perubahan atau pemindahan semua titik pada bidang geometri sepanjang busur bundar yg mempunyai titik pusat lingkaran sebagai titik rotasi. Rotasi dinyatakan positif jikalau arahnya bertentangan jarum jam, & bernilai negatif jikalau searah jarum jam. Sebagai contoh:

rotasi transformasi geometri

Titik A berotasi 90^o bertentangan arah jarum jam. Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi selaku berikut:

gambar & persamaan rotasi

Dilatasi

Dilatasi merupakan transformasi geometri berbentukperkalian yg memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri. Dalam rancangan dilatasi, ada yg disebut titik dilatasi & aspek dilatasi.

Titik dilatasi merupakan titik yg memilih posisi suatu dilatasi. Titik dilatasi menjadi titik pertemuan dr semua garis lurus menghubungkan antara titik-titik dlm suatu bangkit ketitik-titik hasil dilatasi.

Faktor dilatasi merupakan faktor perkalian suatu bangun geometri yg didilatasikan. Faktor ini menunjukan seberapa besar hasil dilatasi terhadap bangun geometrinya & dinotasikan dgn k. Nilai k > 1 atau k < -1 pertanda hasil dilatasi lebih besar dr geometrinya. Nilai -1 < k < 1 menandakan hasil dilatasi lebih kecil dr geometrinya. Tanda positif mengartikan geometri & hasil dilatasi berdampingan di salah satu segi titik dilatasi. Sedangkan tanda negatif mengartikan geometri & hasil dilatasi saling terbalik & berlainan segi di titik dilatasi.

Dilatasi mampu ditulis:

(D, k) = (Titik dilatasi, aspek dilatasi)

Konsep dilatasinya:

Faktor Dilatasi	Bentuk Dilatasi
k > 1
0 < k < 1
k < -1
-1 < k < 0

Dengan ketentuan:

k yaitu titik dilatasi

A salah satu titik geometri

A^I hasil dilatasi titik A

Dalam diagram cartesius, bentuk-bentuk rotasi sebagai berikut:

gambar rumus persamaan dilatasi

Matriks Transformasi

Secara umum, transformasi geometri mampu dinyatakan dlm bentuk matriks $\begin pmatrix a & b \\ c & d \end pmatrix$ yg memetakan titik (x,y) ke titik (x’,y’ ) dgn persamaan:

$\left(\begin array r x'\\ y'\end array \right)=\left(\begin array rr a&b\\ c&d\end array \right) \left(\begin array r x\\ y\end array \right)$

Atau

$\left(\begin array r x\\ y\end array \right)= \frac 1 ad-bc \left(\begin array rr d&-b\\ -c&a\end array \right) \left(\begin array r x'\\ y'\end array \right)$

Bentuk-bentuk matriks transformasi selaku berikut:

matriks transformasi geometri

Determinan & Luas

Hasil transformasi berdiri geometri memiliki luas yg berbeda dgn bangun awalnya. Untuk mendapatkan luas dr suatu bangkit geometri yg sudah ditransformasi dapat dicari dgn determinan matriks transformasi. Yaitu:

Luas $A^I = \begin vmatrix a & b \\ c & d \end vmatrix \times luas A$

Dengan $\begin vmatrix a & b \\ c & d \end vmatrix = ad-bc$ & diketahui luas awalnya.

Contoh Soal Transformasi Geometri & Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi kepada garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yg bersesuaian dgn matriks $\left(\begin array rr -3&5\\ -1&1\end array \right)$ ialah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = $\left(\begin array rr 0&1\\ 1&0\end array \right)$

Transformasi = $\left(\begin array rr -3&5\\ -1&1\end array \right)$

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi yaitu:

$\left(\begin array r x'\\ y'\end array \right) = \left(\begin array rr -3&5\\ -1&1\end array \right) \left(\begin array rr 0&1\\ 1&0\end array \right) \left(\begin array r x\\ y\end array \right) = \left(\begin array rr 5&-3\\ 1&-1\end array \right) \left(\begin array r x'\\ y'\end array \right)$

$\left(\begin array r x\\ y\end array \right) = - \frac 1 2 \left(\begin array rr -1&3 \\ -1&5\end array \right) \left(\begin array r x'\\ y'\end array \right) = \begin pmatrix \frac x'-3y' 2 \\ \frac x'-5y' 2 \end pmatrix$

Kemudian disubstitusikan:

$3x - 4y = 12 \overset substitusi \rightarrow 3 (\frac x'- 3y' 2 ) - 4(\frac x'-5y' 2 ) = 12$

$3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24$

$3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24$

$-x' + 11y' =24$

Hasilnya:

$11y - x =24$

Contoh Soal 2

Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan kepada sumbu y yaitu B & rotasi 180^o terhadap puasat O ialah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

Pencerminan kepada sumbu $x,A = \left(\begin array rr 1&0\\ 0&-1\end array \right)$

Pencerminan terhadap sumbu $y,B = \left(\begin array rr -1&0\\ 0&1\end array \right)$

Rotasi 180^o, $H = \left(\begin array rr cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end array \right) = \left(\begin array rr -1&0\\ 0&-1\end array \right)$

Maka:

$B(A(HA)) = \left(\begin array rr -1&0\\ 0&1\end array \right) ( \left(\begin array rr 1&0\\ 0&-1\end array \right) [ \left(\begin array rr -1&0\\ 0&-1\end array \right) \left(\begin array rr -1&0\\ 0&-1\end array \right) ]))$

$= \left(\begin array rr -1&0\\ 0&1\end array \right) ( \left(\begin array rr 1&0\\ 0&-1\end array \right) \left(\begin array rr -1&0\\ 0&1\end array \right) )$

$= \left(\begin array rr -1&0 \\ 0&1\end array \right) \left(\begin array rr -1&0\\ 0&-1\end array \right)$

$= \left(\begin array rr 1&0\\ 0&-1\end array \right)$

Contoh Soal 3

Oleh matriks $A = \left(\begin array rr a+2&a\\ 1&a+1\end array \right)$ , titik $P(1, 2)$ & titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik $P'(2, 3)$ & $Q'(2,0)$ . Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dr transformasi P:

$\left(\begin array r x'\\ y'\end array \right)= \left(\begin array rr a+2&a\\ 1&a+1\end array \right) \left(\begin array r x\\ y\end array \right)\overset sehingga \rightarrow \left(\begin array r 2\\ 3\end array \right) = \left(\begin array rr a+2&a\\ 1&a+1\end array \right) \left(\begin array r 1\\ 2\end array \right)\overset menjadi \rightarrow \left(\begin array r 2\\ 3\end array \right) = \left(\begin array rr 2 + 3a\\ 3 + 2a\end array \right)$

$a = 0$

Sehingga matriksnya:

$A = \left(\begin array rr a+2&a\\ 1&a+1\end array \right) = \left(\begin array rr 2&0\\ 1&1\end array \right)$

Mencari titik Q:

$\left(\begin array r x'\\ y'\end array \right) = \left(\begin array rr 2&0\\ 1&1\end array \right) \left(\begin array r x\\ y\end array \right) \overset sehingga \rightarrow \left(\begin array r x\\ y\end array \right) = \frac 1 2 \left(\begin array rr 1&0\\ -1&2\end array \right) \left(\begin array r x'\\ y'\end array \right) \overset disubstitusi = \rightarrow \left(\begin array r x\\ y\end array \right) = \frac 1 2 \left(\begin array rr 1&0\\ -1&2\end array \right) \left(\begin array r 2\\0\end array \right)$