Turunan Fungsi - Dari Sosiologi untuk Indonesia

Daftar Isi

Pengertian Turunan

Turunan yakni pengukuran kepada bagaimana fungsi berganti seiring pergeseran nilai yg dimasukan, atau dengan-cara lazim turunan memperlihatkan bagaimana suatu besaran berganti akhir perubahan besaran lainnya. Proses dlm menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dr variabel y kepada variabel x dinotasikan dgn $\frac dy dx$ atau $\frac df(x) dx$ atau y’ & didefinisikan selaku :

$f'(x) =\lim\limits_ h\to 0 \frac f(x+h)-f(x) h$

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Integral Substitusi & Parsial

Persamaan Garis Lurus

Rumus-rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yg terdiri dr fungsi pangkat $f(x) = x^n$ , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi $f(x) = \frac u(x) v(x)$ , & pangkat dr fungsi $f(x) = (u(x))^n$ .

1. Rumus turunan fungsi pangkat $f(x) = x^n$

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus $f'(x) = \lim \limits_ h \to 0 \frac f(x+h)-f(x) h$ sebagai:

$f'(x) = \lim \limits_ h \to 0 \frac (x+h)^n - (x)^n h$

$= \lim \limits_ h \to 0 \frac \sum^n_ i=0 C^n_ix^ n-i h^i-x^n h$

$= \lim_ h \to 0 \frac C^n_0x^n+C^n_1x^ n-1 h+C^n_2x^ n-2 h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n h$

$= \lim \limits_ h\to0 \frac x^n+nx^ n-1 h+\frac n(n-1) 2! x^ n-2 h^2+\cdots+h^n-x^n h$

$= \lim \limits_ h\to0 \frac nx^ n-1 h+\frac n(n-1) 2! x^ n-2 h^2+\cdots+h^n h$

$= \lim \limits_ h\to0 (nx^ n-1 +\frac n(n-1) 2! x^ n-2 h+\cdots+h^ n-1 )$

$= nx^ n-1 +0+0+\cdots+0=nx^ n-1$

Makara rumus turunan fungsi pangkat yaitu:

$f'(x ) = nx^ n-1$

2. Rumus turunan hasil kali fungsi $f(x) = u(x) \cdot v(x)$

Fungsi f(x) yg terbentuk dr perkalian fungsi u(x) & v(x), turunannya didapat dengan:

$f'(x) = \lim \limits_ h\to0 \frac f(x+h)-f(x) h$

$\lim \limits_ h\to0 =\frac u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x) h$

$\lim \limits_ h\to0 =\frac u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x) h$

$=\lim\limits_ h\to0 \frac [u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)] h$

$= \lim \limits_ h\to0 \frac u(x+h)[v(x+h)-v(x)] h +\lim \limits_ h\to0 \frac [u(x+h)-u(x)]v(x) h$

$= \lim \limits_ h\to0 u(x+h) \cdot \lim \limits_ h\to0 \frac v(x+h)-v(x) h +\lim \limits_ h\to0 \frac u(x+h)-u(x) h .\lim_ h\to0 v(x)$

$= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)$

$u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset atau \rightarrow u'.v+u.v'$

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

$f'(x)=u'v+uv'$

3. Rumus turunan fungsi pembagian $f(x)=\frac u(x) v(x)$

$f'(x) = \lim \limits_ h\to0 \frac f(x+h)-f(x) h \overset menjadi \rightarrow \lim \limits_ h\to0 \frac \frac u(x+h) v(x+h) - \frac u(x) v(x) h$

sehingga

$f'(x) = \lim \limits_ h\to0 \frac u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h) h \cdot v(x+h)v(x)$

$=\lim \limits_ h\to0 \frac u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x) h.v(x+h)v(x)$

$= \lim \limits_ h\to0 \frac [u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)] h.v(x+h)v(x)$

$= \lim \limits_ h\to0 \frac [u(x+h)-u(x)]v(x) h \cdot v(x+h)v(x) - \lim \limits_ h\to0 \frac u(x)[v(x+h)-v(x)] h \cdot v(x+h)v(x)$

$=\lim \limits_ h\to0 \frac u(x+h)-u(x) h .\lim\limits_ h\to0 \frac v(x) v(x+h)v(x) - \lim\limits_ h\to0 \frac u(x) v(x+h)v(x) .\lim\limits_ h\to0 \frac v(x+h)-v(x) h$

$= u'(x).\frac v(x) v(x+0)v(x) -\frac u(x) v(x+0)v(x) \cdot v'(x)$

$=\frac u'(x)v(x) v(x)v(x) -\frac u(x)v'(x) v(x)v(x) \rightarrow\frac u'(x)v(x)-u(x)v'(x) (u(x))^2 \rightarrow \frac u'v-uv' v^2$

Kaprikornus rumus turunan fungsinya yakni

Perbandingan kecepatan sepeda motor dan kereta api adalah 3 : 5.

$f'(x) = \frac u'v-uv' v^2$

4. Rumus turunan pangkat dr fungsi $f(x)=(u(x))^n$

Ingat kalau $f(x) = x^n$ , maka:

$f'(x)=\frac df(x) dx = \frac dx^n dx = nx^n-1$

Karena $f(x) = (u(x))^n=u^n$ , maka:

$f'(x) = \frac df(x) dx = \frac du^n dx \cdot \frac du du$

Atau

$f'(x) = \frac du^n du \cdot \frac du dx = nu^ n-1 \cdot u'$

Jadi rumus turunan fungsinya ialah:

$f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'$

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Gelombang Bunyi

Hidrolisis Garam

Unsur Intrinsik Cerpen

Rumus-rumus Turunan Trigonometri

Dengan menggunakan definisi turunan, dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x)

$y = \sin x \rightarrow y' = \cos x$

$y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x$

$y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x$

$y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x$

$y = \sec x \rightarrow y'$

$y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x$

$y = \sin^n x y' = n \sin^ n-1 \times \cos x$

$y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^ n-1 \times \sin x$

$y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u$

$y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u$

$y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u$

$y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u$

$y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u$

$y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u$

$y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^ n-1 \cos u$

$y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^ n-1 u \cdot \sin u$

Aplikasi Turunan

1. Menentukan gradien garis singgung sebuah kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:

$m = y' = f'(x)$

Persamaan garis singgung pada sebuah kurva y = f(x) di titik singgung $(x_1, y_1)$ dirumuskan selaku :

$y - y_1 = m(x - x_1) \rightarrow m = f'(x_1)$

2. Menentukan interval fungsi naik & fungsi turun

Syarat interval fungsi naik $\rightarrow f'(x) > 0″ class=”latex” /></li> <p></p> <li>Syarat interval fungsi turun <img decoding=$

3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi & jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a & f'(x) = 0, maka fungsi mempunyai nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dr fungsi y = f(x) mampu berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa diputuskan dgn menggunakan turunan kedua dr fungsi tersebut.

Nilai maksimum $\rightarrow f'(x) = 0$ & $\rightarrow f$

Jika $f'(x_1) = 0$ & $f'(x_1) < 0$ , maka $f'(x_1)$ adalah nilai balik maksimum dr fungsi y = f(x) & titik $(x_1 f(x))$ yaitu titik balik maksimum dr kurva y = f(x).

Nilai minimum $\rightarrow f'(x) = 0$ & $f$ 0″ class=”latex” />

Jika $f'(x_1) = 0$ & $f'(x_1) > 0 ” class=”latex” />, maka <img decoding=$ yaitu nilai balik minimum dr fungsi $y = f(x)$ & titik $(x_1f(x))$ yakni titik balik minimum dr kurva y = f(x).

Nilai belok $\rightarrow f'(x) = 0$ & $f$

Jika $f'(x_1) = 0$ & $f''(x_1 = 0)$ , maka $f(x_1)$ adalah nilai belok dr fungsi y = f(x) & titik $(x_1f(x))$ yaitu titik belok dr kurva y = f(x).

4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu $\frac 0 0$ atau $\frac \infty \infty$

Jika $\lim \limits_ x\to a \frac f(x) g(x)$ merupakan limit berupa tak pasti $\frac 0 0$ atau $\frac \infty \infty$ , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) & g(x) masing-masing diturunkan.

$\lim\limits_ x\to a \frac f(x) g(x) =\lim\limits_ x\to a \frac f'(x) g'(x) = \frac f'(a) g'(a)$

Jika dgn turunan pertama telah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi bila dgn turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak pasti, maka masing-masing f(x) & f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara solusi mirip ini disebut Dalil L’hopital.

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Sistem Pencernaan Manusia

Report Text

Efek Doppler

5. Menentukan rumus kecepatan & percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak sebuah benda sebagai fungsi waktu diketahui yakni s = f(t), maka rumus kecepatan & kecepatannya mampu ditentukan yakni:

Rumus kecepatan $\rightarrow v = s' = f'(t)$

Rumus percepatan $\rightarrow a = s' = f$

Contoh Soal Turunan Fungsi & Pembahasan

Contoh Soal 1 – Turunan Fungsi Aljabar

Turunan pertama dr $f(x) = 4 \sqrt 2x^3 - 1$ yakni

Pembahasan 1:

Soal ini merupakan fungsi yg berupa y = $au^n$ yg dapat terselesaikan dgn menggunakan rumus $y' = n \cdot a \cdot u^ n-1 \cdot u'$ . Maka:

$f(x) = 4 \sqrt 2x^3-1 = 4(2x^3-1)^ \frac 1 2$

Sehingga turunannya:

$f'(x) = \frac 1 2 \cdot 4(2x^3-1)^ -\frac 1 2 \cdot 6x^2$

$=2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$= 12x^2(2x^3-1)^ -\frac 1 2$

$= \frac 12x^2 (2x^3-1)^ \frac 1 2$

$=\frac 12^2 \sqrt 2x^3-1$

Contoh Soal 2 – Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari

$f(x) = \frac 6 \sqrt[3] \sin (3x-\frac \pi 5 )$

Pembahasan 2:

Untuk menuntaskan soal ini menggunakan rumus adonan yakni $f'(x) = \frac u'v-uv' v^2$ & pula $y' = n \cdot u' \sin^ n-1 u \cdot \cos u$ . Sehingga:

$f(x) = \frac 6 \sqrt[3] sin(3x-\frac \pi 5 )$

$f(x) = \frac 6 (sin(3x-\frac \pi 5 ))^ \frac 1 2$

$f'(x) = \frac 0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac 1 3 (\sin (3x - \frac \pi 5 ))^ - \frac 2 3 \cdot \cos (3x - \frac \pi 5 ) (\sin (3x - \frac \pi 5 ))^\frac 2 3$

$f'(x) = \frac -6(sin(3x-\frac \pi 5 ))^ -\frac 2 3 .cos(3x-\frac \pi 5 ) (sin(3x-\frac \pi 5 ))^ \frac 2 3 . \frac (sin(3x-\frac \pi 5 ))^ \frac 1 3 (sin(3x-\frac \pi 5 ))^ -\frac 1 3$