Turunan Fungsi Trigonometri -

Daftar Isi

Konsep Turunan Fungsi Trigonometri

Pada dasarnya nyaris semua bentuk turunan trigonometri akan menggunakan turunan fungsi sin x atau cos x. Dengan mendefinisikan turunan dr kedua fungsi tersebut di bawah ini,

f(x) f’(x)

sin x cos x

cos x – sin x

akan mudah memilih turunan dr fungsi trigonometri yang lain, dgn cara menyatakan fungsi baru dlm bentuk $\frac u v$ atau bentuk komposisi fungsinya.

Misalnya fungsi sec x mampu kita nyatakan dlm dua bentuk yaitu $\frac u v = \frac 1 \cos x$ atau fungsi komposisinya yakni h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)) = $(\cos x)^ -1$

Rumus-rumus Turunan Fungsi trigonometri

Secara lazim, rumus dasar turunan fungsi trigonometri ialah sbb:

$\begin array rlc &f(x) \hspace 1cm f'(x) \\ &\sin x \hspace 1cm \cos x \\ &\cos x \hspace 1cm - \sin x \\ &\tan x \hspace 1cm \sec^2x \\ &\sec x \hspace 1cm \sec x \tan x \\ &\csc x \hspace 1cm - \csc x \cot x \\ &\cot x \hspace 1cm \csc^2x \end array$

Misal kita akan menentukan turunan dr fungsi sec x, tanpa menghapal table di atas:

Cara 1:

$\sec x = \frac 1 \cos x = \frac u v$ maka turunannya yakni

$\begin array rcl \frac u'v-uv' v^2 &=& \frac (0)(\cos x)(-1)(- \sin x) \cos^2x \\ &=& \frac \sin x \cos^2x \\ &=& \frac 1 \cos x \frac \sin x \cos x \\ &=& \sec x \tan x \end array$

Cara 2:

$\sec x = (\cos x)^ -1$

Dengan memakai koposisi fungsi, maka turunan dr $(\cos x)^ -1$ adalah

$\begin array rcl -(\cos x)^ -2 (- \sin x) &=& \frac \sin x \cos^2x \\ &=& \frac 1 \cos x \frac \sin x \cos x \\ &=& \sec x \tan x \end array$

Dengan cara yg sama, seluruh fungsi trigonometri mampu diselesaikan dgn cara di atas tanpa harus menghapal semua turunannya.

Lihat pula materi Sosiologiku.com yang lain:

Induksi Matematika

Eksponen & Bentuk Akar

Limit Fungsi

Turunan Komposisi Fungsi Trigonometri

Misalkan fungsi h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)), di mana f(x) & g(x) ialah fungsi trigonometri yg masing-masing mempunyai turunan, maka turunan dr h(x) adalah:

h’(x) = (f o g)’(x) = f’(g(x)).g’(x)

Contoh :

Tentukan turunan dr y = $\sin (\cos (x^2))$

Jawab:

$\begin array rcl y' &=& \cos(\cos(x^2))(- \sin(x^2))(2x) \\ &=& - 2 \sin (x^2) \cos(\cos(x^2)) \end array$

Contoh Soal Turunan Trigonometri & Pembahasan

Contoh 1:

Soal SPMB 2006, Matematika Dasar

Turunan pertama dr fungsi $y = \frac \sin x \sin x + \cos x$ yaitu …

A. $- \frac 1 1+2 \sin x \cos x$

Nilai minimum dari f(x,y) = 8x + 6y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan

B. $\frac 1 1+2 \sin x \cos$

C. $\frac - \sin x 1 + 2 \sin x \cos x$

D. $\frac \sin x 1 + 2 \sin x \cos x$

E. $- \frac \sin^x 1+2 \sin x \cos x$

Jawab: B

$y = \frac \sin x \sin x \cos x \\ u = \sin x \Rightarrow u' = \cos x \\ v = \sin x + \cos x \Rightarrow v' = \cos x \sin x \\ y' = \frac u'v-uv' v^2 \\ = \frac \cos x(\sin x+ \cos x)- \sin x(\cos x- \sin x) (\sin x+ \tan x)^2 \\ = \frac \sin^2+ \cos^2 x (\sin x+ \cos x)^2 \\ = \frac 1 (\sin x+ \cos x)^2 \\ = \frac 1 \sin^2x+ \cos^2 x+2 \sin x \cos x \\ = \frac 1 1+2 \sin x \cos x$

Contoh 2:

Soal SNMPTN Matematika Dasar 2008

Turunan pertama dr fungsi $\frac \cos x - \sin x \cos x + \sin x$ yakni …

A. $- \frac 1 (\cos x+ \sin x)^2$

B. $- \frac 2 (\cos x+ \sin x)^2$

C. $\frac 3 (\cos x+ \sin x)^2$

D. $-\frac 1 \cos^2 x- \sin^2 x$

E. $-\frac 2 \cos^2- \sin^2 x$

Jawab: B

$y = \frac \cos x- \sin x \cos x+ \sin x \\ u = \cos x- \sin x \Rightarrow u' = - \sin x- \cos x = -(\cos x+ \sin x) \\ v = \cos x+ \sin x \Rightarrow v' = \sin x+ \cos x \\ y' = \frac u'v-uv' v^2 \\ = \frac -(\cos x+ \sin x)(\cos x+ \sin x)-(\cos x- \sin x)(- \sin x+ \cos x) (\cos x+ \sin x) \\ = \frac -(\cos x+ \sin x)^2-(\cos x- \sin x)^2 (\cos x+ \sin x)^2 \\ = \frac -(\cos^2+ \sin^2x+2\cos x \sin x)-(\cos^2x+ \sin^2x-2 \cos x \sin x)^2 (\cos x+ \sin x)^2 \\ = \frac -2(\cos^2+ \sin^2x) (\cos + \sin x)^2 \\ = \frac -2 (\cos x+ \sin x)^2$

Contoh 3:

Soal SBMPTN Matematika Saintek 2015

Fungsi $f(f)= \sqrt \cos^2x+ \frac x 2 + \pi$ , x > 0, turun pada interval …

A. $\frac \pi 6 < x < \frac \pi 3$

B. $\frac \pi 12 < x < \frac 7 \pi 12$

C. $\frac \pi 12 < x < \frac 5 \pi 12$

D. $0 < x < \frac 5 \pi 12$

E. $0 < x < \frac \pi 12$

Jawab: C

Fungsi f(x) akan turun jikalau

f’(x) < 0

$\begin array rcl f(x) &=& \sqrt \cos^2x+ \frac x 2 + \pi \\ &=& (\cos^2x+ \frac x 2 + n)^ \frac 1 2 ) \\ f'(x) &=& \frac 1 2 (\cos^2x+ \frac x 2 + \pi)^ - \frac 1 2 (-2 \cos x \sin x+ \frac 1 2 \\ &=& \frac -2 \cos x \sin x + \frac 1 2 \sqrt[2] \cos^2x+ \frac x 2 + \pi < 0 \end array$

Karena $\sqrt \cos^2x+ \frac x 2 \pi > 0 ” class=”latex” /> maka kedua ruas bisa dikalikan dgn <img decoding=$

$-2 \cos x \sin x \frac 1 2 > 0 \iff 2 \cos x \sin x < \frac 1 2 \\ \iff \sin 2x < \frac 1 2$

Jika $\sin 2x = \frac 1 2$ maka nilai x yaitu $\frac \pi 12$ atau $\frac 5 \pi 12$

Contoh 4:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2005

Jika $f(x) = \sqrt 1+ \sin^2 x 0 \le x \le \pi$

Maka $f'(x).f(x) = \cdots$

A. $(1+ sin^2 x) \sin x \cos x$

B. $1+ \sin^2x$

C. $\sin x \cos x$

D. $\sin x$

E. $\frac 1 2$

Jawab: C

$\begin array rcl f(x) = \sqrt 1+ \sin^2 x 0 \le x \le \pi \\ &=& (1+ \sin^2 x)^ \frac 1 2 \\ f'(x) &=& \frac 1 2 (1+ \sin^2 x)^ \frac 1 2 (2 \sin x \cos x) \\ &=& (\sin x \cos x) (1+ \sin^2 x)^ \frac 1 2 \\ &=& \frac \sin x \cos x \sqrt 1+ \sin^2 x \\ f'(x) \hspace 0,1cm &=& \frac \sin x \cos x \sqrt 1+ \sin^2 x \sqrt 1+ \sin^2 x \\ &=& \sin x \cos x \end array$

Contoh 5:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2006

Jika $f(x) = \frac \cos x- \sin x \cos x+ \sin x , \cos x+ \sin x \ne 0$

Maka $f'(x) = \cdots$

A. $1-(f(x))^2$

B. $-1+(f(x))^2$

C. $-(1+(f(x))^2)$

D. $1+(f(x))^2$

E. $(f(x))^2$

Jawab: B

$f(x) = \frac \cos x- \sin x \cos x+ \sin x , \cos x+ \sin x \ne 0$

$u = \cos x- \sin x \rightarrow u' = - \sin x - \cos x = -(\sin x+ \cos x)$

$v = \cos x+ \sin x \rightarrow v' = - \sin x + \cos x$

$\begin array rcl f'(x) = \frac u'v- uv' v^2 \\ &=& \frac -(\sin x+ \cos x)(\sin x+ \cos x)-(\cos x- \sin x)(-\sin x+ \cos x) (\cos x+ \sin x)^2 \\ &=& \frac -(\sin x+ \cos x)(\sin x+ \cos x)+(\cos x- \sin x)(\cos x- \sin x) (\cos x+ \sin x)^2 \\ &=& \frac (-\sin x+ \cos x)^2 +(\cos x- \sin x)^2 (\cos x+ \sin x)^2 \\ &=& -1 \frac (\cos x- \sin x)^2 (\cos x+ \sin x)^2 \\ &=& -1(f(x))^2 \end array$

Contoh 6:

Soal UM UGM Matematika Dasar 2008

Jika $y= 3 \sin 2x-2 \cos 3x$ , maka $\frac dy dx$ = …

A. $6 \cos 2x+ 6 \sin 3x$

B. $latex$ -6 \cos 2x- 6 \sin 3x$

C. $6 \cos 2x- 6 \sin 3x D.$ latex 3 \cos 2x+ 2 \sin 3x$

E. $3 \cos 2x- 2 \sin 3x$ $latex$

Jawab: A

$y = 3 \sin 2x-2 \cos 3x$

$y' = 6 \cos+6 \sin 3x$

Contoh 7:

Soal UGM Matematika IPA 2014

Jika $f(x) = (\sin x+ \cos)(\cos 2x+ \sin 2x)$ & $f'= 2 \cos 3x+ g(x)$ maka g(x) = …

A. $\cos 3x + \sin x$

B. $\cos 3x - \sin x$

C. $\cos + \sin x$

D. $\cos + \sin x$

E. $- \cos x+ \sin x$

Eksponen, Perpangkatan, & Bentuk Akar

Jawab: B

$\begin array rcl f'(x) &=& u'v + uv' \\ &=& ( \cos x- \sin x)( \cos 2x+ \sin 2x)+2( \sin x+ \cos x)( \cos 2x- \sin 2x) \\ &=& ( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x)-( \sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x)+2(\sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x)+2( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x) \\ &=& 3( \cos x \cos 2x- \sin x \sin 2x)+( \sin x \cos 2x- \cos x \sin 2x) \\ &=& 3 \cos (x+2x)+ \sin (x-2x) \\ &=& 3 \cos 3x+ \sin (-x) \\ &=& 3 \cos 3x- \sin x = 2 \cos 3x+g(x) \\ g(x) &=& 2 \cos 3x - \sin x \end array$

Contoh 8:

Soal UM UGM Matematika IPA 2015

Nilai minimum fungsi $f(x) = 2 \sin x+ \cos 2x$ pada interval $0 \le x \le 2 \pi$ ialah …

A. – 4

B. – 3

C. – 2

D. – 1

E. 0

Jawab: B

Nilai minimum terjadi pada ketika

$\begin array rcl f'(x) = 0 & \iff & 2 \cos x - 2 \sin 2x =0 \\ & \iff & \cos x - \sin 2x = 0 \\ & \iff & \cos x - 2 \sin 2x \cos x=0 \\ & \iff & \cos x (1- 2 \sin 2x) =0 \\ & \iff & \cos x=0 atau 1-2 \sin x =0 \end array$

Dari cos x = 0 diperoleh $x= \frac \pi 2$ atau $x= \frac 3 \pi 2$

Dari 1 – 2 sin x = 0 maka sin $x= \frac 1 2$ diperoleh $x= \frac \pi 6$ atau $x= \frac 5 \pi 6$

Selanjutnya kita tinggal mengusut nilai paling kecil dr f(x) dikala x bernilai

$\frac \pi 2 , \frac 3 \pi 2 , \frac \pi 6 ,\frac 5\pi 6$ , & titik batas yakni 0 dan $latex2 \pi$

$\begin array rcl f(x) &=& 2 \sin x+ \cos 2x \\ f(0) &=& 0+1 = 1 \\ f ( \frac \pi 6 ) &=& 1+ \frac 1 2 = \frac 3 2 \\ f ( \frac \pi 2 ) &=& 2-1 = 1 \\ f ( \frac 5 \pi 6 ) &=& 1+ \frac 1 2 = \frac 3 2 \\ f ( \frac 3 \pi 2 ) &=& -2-1 = -3 \\ f(2 \pi) &=& 0+1 = 1 \end array$