Vektor -

Daftar Isi

Pengertian Vektor

Vektor merupakan suatu besaran yg memiliki arah. Vektor digambarkan sebagai panah dgn yg membuktikan arah vektor & panjang garisnya disebut besar vektor. Dalam penulisannya, jikalau vektor berawal dr titik A & berakhir di titik B bisa ditulis dgn sebuah abjad kecil yg diatasnya ada tanda garis/ panah seperti $\vec v$ atau $\bar v$ atau juga:

$\vec AB$

Lihat pula materi Sosiologiku.com lainnya:

Pengertian & Determinan Matriks

Transformasi Geometri – Translasi, Rotasi, Dilatasi

Misalkan vektor $\bar v$ merupakan vektor yg berawal dr titik $A(x_1,y_1)$ menuju titik $B(x_2,y_2)$ mampu digambarkan koordinat cartesius dibawah. Panjang garis sejajar sumbu x yakni $v_1 = x_2 - x_1$ & panjang garis sejajar sumbu y yaitu $v_2 = y_2 - y_1$ merupakan bagian-unsur vektor $\bar v$ .

pengertian vektor

Komponen vektor $\bar v$ mampu ditulis untuk menyatakan vektor dengan-cara aljabar yakni:

$\vec v = \left(\begin array r v_1\\ v_2\end array \right) = \left(\begin array r x_2-x_1\\ y_2-y_1\end array \right)$ atau $\vec v = (v_1,v_2)$

Jenis-jenis Vektor

Ada berbagai macam vektor khusus yakni:

Vektor Posisi
Suatu vektor yg posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) & titik ujungnya di A $(a_1,a_2)$

Vektor Nol
Suatu vektor yg panjangnya nol & dinotasikan $\bar 0$ . Vektor nol tak memiliki arah vektor yg jelas.

Vektor satuan
Suatu vektor yg panjangnya satu satuan. Vektor satuan dr $\vec v = \left(\begin array r v_1\\ v_2\end array \right)$ ialah:

$\bar U_v = \frac \bar v \mid\bar v \mid = \frac 1 \mid\bar v \mid \left(\begin array r v_1\\ v_2\end array \right)$

Vektor basis
Vektor basis merupakan vektor satuan yg saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi $(R^2)$ mempunyai dua vektor basis yaitu $\bar l = (1,0)$ dan $\bar j = (0,1)$ . Sedangkan dlm tiga dimensi $(R^3)$ mempunyai tiga vektor basis yaitu $\bar I = (1, 0, 0)$ , $\bar J = (0, 1, 0)$ , & $\bar K = (0, 0,1)$ .

Vektor di R^2

Panjang segmen garis yg menyatakan vektor $\bar v$ atau dinotasikan sebagai $\mid\bar v \mid$ Panjang vektor sebagai:

vektor di R2

Panjang vektor tersebut dapat dikaitkan dgn sudut $\theta$ yg dibentuk oleh vektor & sumbu x. positif.

panjang & rumus vektor

Vektor dapat disuguhkan selaku variasi linier dr vektor basis $\bar l = \binom 1 0$ & $\bar J = \binom 0 1$ berikut:

$\bar v =\left(\begin array r v_1\\ v_2\end array \right) = v_1\left(\begin array r 1 \\ 0 \end array \right) + v_2\left(\begin array r 0\\ 1\end array \right)$

$\bar v =v_1 \bar i + v_2\bar j$

panjang vektor di r2

Operasi Vektor di R^2

Penjumlahan & pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan & kesannya disebut resultan. Penjumlahan vektor dengan-cara aljabar mampu dilakukan dgn cara menjumlahkan bagian yg seletak. Jika $\vec a = \left(\begin array r a_1\\ a_2\end array \right)$ & $\vec b = \left(\begin array r b_1\\ b_2\end array \right)$ maka:

$\vec a + \vec b = \left(\begin array r a_1+b_1\\ a_2+b_2\end array \right)$

Penjumlahan dengan-cara grafis mampu dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan & pengurangan vektor

Dalam penghematan vektor, berlaku sama dgn penjumlahan yakni:

$\bar a - \bar b = \left(\begin array r a_1-b_1\\ a_2-b_2\end array \right)$

Sifat-sifat dlm penjumlahan vektor sebagai berikut:

$\bar a + \bar b = \bar b + \bar a$

$\bar a + (\bar b +\bar c ) = (\bar a + \bar b ) + \bar c$

Perkalian vektor di R^2 dgn skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dgn suatu skalar (bilangan real) & akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika $\bar v$ adalah vektor & k yakni skalar. Maka perkalian vektor:

$k.\bar v$

Dengan ketentuan:

Jika k > 0, maka vektor $k.\bar v$ searah dgn vektor $\bar v$

Jika k < 0, maka vektor $k.\bar v$ berlawanan arah dgn vektor $\bar v$

Jika k = 0, maka vektor $k.\bar v$ ialah vektor identitas $\bar o = ^0_0$

Secara grafis perkalian ini dapat mengganti panjang vektor & mampu dilihat pada tabel dibawah:

perkalian vektor dgn skalar

Secara aljabar perkalian vektor $\bar v$ dgn skalar k dapat dirumuskan:

$k.\bar v = \left(\begin array r k.v_1\\ k.v_2\end array \right)$

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut pula sebagai hasil kali titik dua vektor & ditulis selaku :

$\bar a .\bar b$ (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor $\bar a$ & $\bar b$ dijalankan dgn mengalikan panjang vektor $\bar a$ & panjang vektor $\bar b$ dgn cosinus $\theta$ . Sudut $\theta$ yg merupakan sudut antara vektor $\bar a$ dan vektor $\bar b$ .

Sehingga:

$\bar a \cdot \bar b = \mid\bar a \mid\mid\bar b \mid cos\theta$

Dimana:

perkalian skalar dua vektor

Perhatikan bahwa:

Hasil kali titik dua vektor menciptakan suatu skalar

$\bar a .\bar a = (\bar a ^2)$

$\bar a .(\bar b + \bar c ) = (\bar a . \bar a ) + (\bar a . (\bar c )$

Vektor di R^3

Vektor yg berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dlm $R^3$ dapat dikenali dgn pengembangan rumus phytagoras. Jika titik $A(x_1,y_1,z_1)$ & titik $B(x_2,y_2,z_2)$ maka jarak AB yaitu:

$AB = \sqrt (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2$

Atau jikalau $\bar v = \left(\begin array r v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end array \right)$ , maka

$\mid\bar v \mid = \sqrt (v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2$

Vektor $\bar AB$ dapat dinyatakan dlm dua bentuk, yaitu dlm kolom $\bar AB = \left(\begin array r b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end array \right)$ atau dlm baris $\bar AB = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3)$ . Vektor pula dapat disuguhkan sebagai variasi linier dr vektor basis $\bar l (1,0,0)$ & $\bar J (0,1,0)$ & $\bar K (0,0,1)$ berikut:

$\bar v = \left(\begin array r v_1\\ v_2\\ v_3\end array \right) = v_1\left(\begin array r 1\\ 0\\ 0\end array \right) + v_2\left(\begin array r 0\\ 1\\ 0\end array \right) + v_3\left(\begin array r 0\\ 0\\ 1\end array \right)$

$\bar v = v_1\bar I + v_2\bar J + v_3\bar K$

vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di $R^3$ dengan-cara lazim, mempunyai rancangan yg sama dgn operasi vektor di $R^2$ dlm penjumlahan, penghematan, maupun perkalian.

Penjumlahan & penghematan vektor di R^3

Penjumlahan & pengurangan vektor di $R^3$ sama dgn vektor di $R^2$ yakni:

$\bar a + \bar b = \left(\begin array r a_1\\ a_2\\ a_3\end array \right) + \left(\begin array r b_1\\ b_2\\ b_3\end array \right) = \left(\begin array r a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end array \right)$

Dan

$\bar a - \bar b = \left(\begin array r a_1\\ a_2\\ a_3\end array \right) - \left(\begin array r b_1\\ b_2\\ b_3\end array \right) = \left(\begin array r a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end array \right)$

Perkalian vektor di R^3 dgn skalar

Jika $\bar v$ yaitu vektor & k yaitu skalar. Maka perkalian vektor:

$k.\bar v = \left(\begin array r k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end array \right)$

Hasil kali skalar dua vektor

Selain rumus di $R^3$ , ada rumus lain dlm hasil kali skalar dua vektor. Jika $\bar a = a\bar I + a_2\bar J + a_3\bar K$ & $\bar b = b_1\bar i + b_2\bar j + b_3\bar k$ maka $\bar a .\bar b$ adalah:

$\bar a .\bar b = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)$

Proyeksi Orthogonal vektor

Jika vektor $\bar a$ diproyeksikan ke vektor $bar b$ & diberi nama $\bar c$ seperti gambar dibawah:

proyeksi orthogonal vektor

Diketahui:

$\bar a .\bar b = \mid\bar a \mid \mid \bar b \mid cos\theta \overset maka \rightarrow cos\theta = \frac \bar a .\bar b \mid\bar a \mid\mid\bar b \mid$

Sehingga:

$\mid\bar c \mid = \mid\bar a \mid\mid cos\theta\mid$ atau $\mid\bar c \mid = \mid\frac \bar a .\bar b \mid\bar b \mid \mid$

Untuk mendapat vektornya:

$\bar c = \mid\frac \bar a .\bar b \mid \bar b \mid \mid \bar b$

Contoh Soal Vektor & Pembahasan

Contoh Soal 1

Diketahui titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), & titik C(p,q,-6). Jika titik A, B, & C segaris maka pastikan nilai p+q.

Pembahasan 1:

Jika titik-titik A, B, & C segaris maka vektor $\bar AB$ & vektor $\bar AC$ bisa searah atau berlawanan arah. Sehingga akan ada bilangan m yg merupakan suatu kelipatan & membentuk persamaan

$m.\bar AB = \bar AC$

Jika B berada diantara titik A & C, diperoleh:

$\bar AB + \bar BC = \bar AC$

sehingga:

$\bar AB = \left(\begin array r 6-2\\ 6-4\\ 2-6\end array \right) = \left(\begin array r 4\\ 2\\ -4\end array \right)$

$\bar AC = \left(\begin array r p-2\\ q-4\\ -6-6\end array \right) = \left(\begin array r p-2\\ q-4\\ -12\end array \right)$

Maka kelipatan m dlm persamaan:

$m.\bar AB = \bar AC$

$m.\left(\begin array r 4\\ 2\\ -4\end array \right) = \left(\begin array r p-2\\ q-4\\ -12\end array \right)$

$-4.m = (-12) \rightarrow m = 3$

Diperoleh:

$2.m = (q - 4) \rightarrow 6 = (q - 4)$
$q = 10$

$4.m = (p - 2) \rightarrow 12 (p - 2)$
$p = 14$

disimpulkan:

p+q=10+14=24

Contoh Soal 2

Jika diketahui vektor pada titik A & titik B & vektor pada titik C yg berada diantara garis Ab seperti gambar dibawah. Tentukan persamaan vektor C.

contoh soal vektor & pembahasannya

Pembahasan 2:

Dari gambar mampu dikenali bahwa:

$\bar AB + \bar a = \bar b$ sehingga $\bar AB = \bar b - \bar a$

$\bar AC = \frac m m+n \bar AB = \frac m m+n (\bar b - \bar a )$

Sehingga:

$\bar c = \bar AC + \bar a$

$= \frac m m+n (\bar b - \bar a ) + \bar a = \frac m m+n (\bar b ) - \frac m m+n (\bar a ) + \frac m+n m+n (\bar a )$

$= \frac m m+n (\bar b )+\frac n m+n (\bar a )$

Contoh Soal 3

Misalkan vektor $\bar a = 4\bar i + y\bar j$ & vektor $\bar b =2\bar i + 2\bar j + \bar k$ . Jika panjang proyeksi vektor a ̅ $\bar a$ pada $\bar b$ yaitu 4. Maka pastikan nilai y.